Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы массо-вого обслуживания (СМО), т.е. такие системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов.

В качествепримеров СМО в финансово-экономи-ческой сфере можно привести системы, представляющие собой: банки различных типов, страховые организа-ции, налоговые инспекции, ау-диторские службы, различные системы связи (в том числе те-лефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, предприятия массового питания, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы).

Такие сис-темы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обра-ботки информации, транспортные системы, автоматизирован-ные производственные участки, поточные линии также могут рассматриваться как своеобразные СМО.

В торговле выполняется множество операций в процессе движе-ния товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются: погрузка и выгрузка товаров, пере-возка, упаковка, фасовка, хранение, выкладка, продажа и т. д. Для торговой деятельности характерны массовое поступление товаров, денег, массовое обслу-живание покупателей и т. п., а также выполнение соответствующих операций, которые носят случайный характер. Все это создает не-равномерность в работе торговых организаций и предприятий, порождает недогрузки, простои и перегрузки. Много времени отни-мают очереди, например, у покупателей в магазинах, водителей ав-томашин на товарных базах, ожидающих разгрузки или погрузки.

В связи с этим возникают задачи анализа работы, например тор-гового отдела, торгового предприятия или секции, для оценки их деятельности, выявления недостатков, резервов и принятия в конеч-ном итоге мер, направленных на увеличение ее эффективности. Кроме того, возникают задачи, связанные с созданием и внедре-нием более экономичных способов выполнения операций в пределах секции, отдела, торгового предприятия, овощной базы, управления торговли и т. п. Следовательно, в организа-ции торговли методы теории массового обслуживания позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность про-давцов, частоту завоза товаров и другие параметры.

Другим ха-рактерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организа-ций, и задача теории массового обслуживания сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом по-ступающих на базу требований на обслуживание и числом об-служивающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы мини-мальными. Теория массового обслуживания может найти при-менение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку - как требование.

Основные характеристики СМО

СМО включаетследующие элементы : источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (канал обслуживания), выходящий поток требований (обслуженных заявок).

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы, в основном, не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных причин. После обслуживания заявки канал освобожден и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к не-равномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же дру-гие интервалы времени при свободных каналах на входе CMО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к про-стаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо "становятся" в очередь, либо по какой-то причине невоз-можности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Схема СМО изображена на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 - Схема системы массового обслуживания

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами обслуживания . Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы), линии связи, автомашины и т.д.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производи-тельности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

СМО явля-ется предметом изучения теории массового обслуживания .

Цель теории массового обслуживания — выработка рекомен-даций по рациональному построению СМО, рациональной ор-ганизации их работы и регулированию потока заявок для обес-печения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффек-тивности функционирования СМО от ее организации (пара-метров).

В качестве характеристик эффективности функционирова-ния СМО можно выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

1.1. Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

1.2. Относительная пропускная способность СМО - от-ношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу посту-пивших заявок за это же время.

1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО.

1.4. Коэффициент использования СМО — средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслужи-ванием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок :

2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди.

2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО.

2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожи-дания.

2.4. Вероятность того, что поступившая заявка немедлен-но будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

2.6. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары "СМО — потребитель" , где под "потребителем" понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, при-носимый СМО в единицу времени, и т.п.).

Случайный характер потока заявок и длительности их об-служивания порождает в СМО случайный процесс . Поскольку моменты времени T i и интервалы времени поступле-ния заявок T , продолжительность операций обслуживания Т обс , про-стоя в очереди T оч , длина очереди l оч — случайные величины, то характеристики состояния систем массового обслуживания носят вероятностный характер. Поэтому для решения задач теории массового обслужива-ния необходимо этот случайный процесс изучить, т.е. постро-ить и проанализировать его математическую модель.

Математическое изучение функционирования СМО значи-тельно упрощается, если протекающий в ней случайный про-цесс является марковским . Чтобы случайный процесс был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воз-действием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, были (простейшими) пуассоновскими .

Простейший поток обладает тремя основными свойствами : ординарности, стационарности и отсутствия последействия.

Ординарность потока означает практическую невозмож-ность одновременного поступления 2-х и более требований. На-пример, достаточно малой является вероятность того, что в магазине самообслуживания одно-временно выйдут из строя несколько кассовых аппаратов.

Стационарным называется поток, для которого математиче-ское ожидание числа требований, поступающих в систему в едини-цу времени (обозначим λ ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества тре-бований в течение заданного промежутка времени ?T зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что число требова-ний, поступивших в систему до момента T , не определяет того, сколько требований поступит в систему за время (T + ?T) . Например, если в кассовом аппарате в данный момент произо-шел обрыв кассовой ленты и он устранен кассиром, то это не влияет на воз-можность нового обрыва на данной кассе в следующий момент и тем более на вероятность возникновения обрыва на других кассовых аппаратах.

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона , т. е. вероятность по-ступления за время T ровно k требований задается формулой

, (5.1)

где λ — интенсивность потока заявок , т. е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени,

, (5.2)

где τ — среднее значение интервала времени между двумя со-седними заявками.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заяв-ками распределено экспоненциально с плотностью вероятности

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания то-же можно считать распределенным экспоненциально:

, (5.4)

где ν — интенсивность движения очереди , т. е. среднее число зая-вок, приходящих на обслуживание в единицу времени,

где Т оч - среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в кана-ле, где длительность обслуживания Т обс является случайной величи-ной и подчиняется во многих случаях показательному закону рас-пределения с плотностью

, (5.6)

где μ — интенсивность потока обслуживания , т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

. (5.7)

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели λ и μ , является интенсивность нагрузки, которая показывает степень согласования указанных потоков зая-вок:

Перечисленные показатели k, τ, λ, l оч, Т оч, ν, Т обс, μ, ρ, Р k являются наиболее общими для СМО.

Система массового обслуживания (СМО) - система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на

1. системы с потерями, в которых требования, не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора, теряются;
2. системы с ожиданием, в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований, при этом ожидающие требования образуют очередь;
3. системы с накопителем конечной ёмкости (ожиданием и ограничениями), в которых длина очереди не может превышать ёмкости накопителя; при этом требование, поступающее в переполненную СМО (отсутствуют свободные места для ожидания), теряется.

Выбор требования из очереди на обслуживание производится с помощью так называемой дисциплины обслуживания. Их примерами являются FCFS/FIFO (пришедший первым обслуживается первым), LCFS/LIFO (пришедший последним обслуживается первым), random (англ.) (случайный выбор). В системах с ожиданием накопитель в общем случае может иметь сложную структуру.

Основные понятия СМО

Требование (заявка) - запрос на обслуживание.

Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО.

Время обслуживания - период времени, в течение которого обслуживается требование.

Математическая модель СМО - это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.

См. также

Литература

• Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М .: Машиностроение, 1979. - С. 432.

• Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. - М .: РУДН, 1995. - С. 530.

• Хемди А. Таха Глава 17. Системы массового обслуживания // Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction. - 7-е изд. - М .: «Вильямс», 2007. - С. 629-697. - ISBN 0-13-032374-8

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Галле, Эмиль
• Оскар (кинопремия, 1979)

Смотреть что такое "Система массового обслуживания" в других словарях:

система массового обслуживания - СМО Система, предназначенная для обслуживания случайных потоков вызовов абонентов в сетях связи (рис. Q 3). Общепринятое условное обозначение, используемое для описания систем массового обслуживания, состоит из трех символов A/S/m, где символ А… …

Система массового обслуживания - совокупность пунктов (каналов, станций, приборов), на которые в случайные или неслучайные моменты времени поступают заявки на обслуживание (требования), подлежащие удовлетворению. Примеров таких систем можно привести очень много …

СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ - математическая модель, созданная для изучения качества работы реальных систем, в которых реализуются последовательности однородных элементарных операций обслуживания. С.м.о. – основной предмет исследования теории массового обслуживания. С.м.о.… … Большой экономический словарь

Многофазная система массового обслуживания - система, в которой поступившее требование проходит последовательно несколько этапов обработки. Для анализа таких систем необходимо знать не только длину очереди, время ожидания обслуживания, нагрузку каждого… … Экономико-математический словарь

многофазная система массового обслуживания - Система, в которой поступившее требование проходит последовательно несколько этапов обработки. Для анализа таких систем необходимо знать не только длину очереди, время ожидания обслуживания, нагрузку каждого последовательного звена системы, но и… … Справочник технического переводчика

Многоканальная система массового обслуживания - система, в которой поступившее требование может быть обслужено одним из нескольких каналов, входящих в блок обслуживания … Экономико-математический словарь

многоканальная система массового обслуживания - Система, в которой поступившее требование может быть обслужено одним из нескольких каналов, входящих в блок обслуживания. Тематики экономика EN multichannel system … Справочник технического переводчика

С ожиданием многоканальная система массового обслуживания, алгоритм к рой предусматривает накапливание вызовов в очереди, если в момент их прихода система оказалась занятой; при этом обслуживание вызовов ведется в нескольких каналах одновременно … Математическая энциклопедия

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СИСТЕМА - с отказами система массового обслуживания, алгоритм к рой предусматривает выбывание вызовов, в момент прихода к рых все каналы оказались занятыми. Основные определения и обозначения см. в ст. Массового обслуживания система. 1) Естественными… … Математическая энциклопедия

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СИСТЕМА - с ожиданнем и одним каналом обслуживания система массового обслуживания, алгоритм к рой предусматривает, что вызовы, не принятые немедленно к обслуживанию (заставшие систему занятой), накапливаются в очереди; при этом обслуживание следующего… … Математическая энциклопедия

Книги

• Теория массового обслуживания , Г. И. Ивченко, В. А. Каштанов, И. Н. Коваленко. В настоящем пособии в доступной для первоначального изучения форме излагаются элементы основных направлений теории массового обслуживания - раздела теории вероятностей, изучающего системы,…

СМО с английского языка переводится как социальная медиа оптимизация. Она преследует задачу привлечения и удержания посетителей в социальных сетях. Также СМО направлено на работу по модернизации сайта.

СМО является внутренним продвижением, а CММ – внешним.

СМО оптимизирует лишь внутреннюю составляющую, ее не касается продвижение сайта в социальных сетях.

К оптимизации и продвижению своего сайта стремится каждый перспективный предприниматель. Но наряду с оптимизацией в поисковых системах есть еще и социальная оптимизация. Это СМО и СММ. Социальная оптимизация может в разы повысить посещаемость целевой аудитории. Потому не стоит ограничиваться лишь раскруткой своего сайта. СМО и СММ немного отличаются по процедуре.

Если раскрутка сайта направлена на алгоритмы роботов, то в СМО и CММ работают над оптимизацией аудитории.

Составляющие внутренней оптимизации СМО

При СМО все работы можно проделывать на сайте без вложения денежных средств. К внутренней работе по оптимизации относятся технические составляющие и аудит сайта, работа по наполнению и изменения содержимого сайта, работа над внешним видом, перелинковка, установкой кнопок, карты сайта, комментарии с социальных сетей, формирование блоков.

К аудиту относится анализ слабых сторон сайта и их исправления. Пересматривается дизайн, оптимизация вводных слов для легкости поиска, конкурентоспособности. При техническом аудите содержимое проверяется на грамотность, работоспособность ссылок, скорость загрузки. Также при аудите проверяется множество других параметров, и все это направленно на эффективную работу странички.

Не секрет, что содержимое сайта постоянно нужно обновлять, изменять, привносить новшества. Как правило, после разработки полноценного сайта, изменение содержимого является непрерывным процессом. Очень важны грамотные и последовательные статьи. От этого во многом зависит и поведенческая реакция систем поисковиков.

Также большую роль играет внешний вид сайта, его дизайн. Он должен быть красивым, не перегруженным аляпистыми цветами, отличаться от конкурентных сайтов, быть правильно расположенным. Визуальное восприятие также привлекает посетителей. Если внешний вид красивый и добротный, то это производит положительное впечатление о владельце сайта, так как производит эстетическое удовольствие. Еще очень важно, чтобы информация была расположена понятно и логично, чтобы можно было быстро найти нужную информацию.

Перелинковка сайта влияет на навигацию. Сайт становится более понятным для систем поисковиков и пользователей.

Хорошо установить карту сайта, на которой размещены ссылки на все страницы. Лучше ее создать отдельной страницей. Это улучшит навигацию и оперативность пользования.

На сайте нужно дать место комментариев с социальных сетей. Зарегистрированные пользователи в социальных сетях смогут комментировать статьи и другие текстовые приложения вашего сайта. Эти комментарии отображаются в соцсетях, что послужит вам рекламой.

Еще одной полезной вещью является формирование блоков. На страницу сайта с краю можно расположить колонку (сайдбар) со свежими и интересными статьями. Это будет привлекать читателей, так как люди любят быть в курсе событий. Возможно, это будет хорошим стимулом посетить сайт не один раз.

P.S. Если вы не хотите вникать во все детали и хитрости продвижения сайта, то рекомендуем доверить это дело профессионалам. Продвижением сайта в интернете на профессиональном уровне занимается компания JoomStudio.com.ua. За раскруткой сайта рекомендуем обращаться именно к ним.

Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.

	Узлы	Требования
Больница	Санитары	Пациенты
Производство
Аэропорт	Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации	Пассажиры

Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.

Рис. 1

1. Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
2. Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:

• принимает заявки;
• формирует очередь, если все каналы заняты;
• направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
• дает заявкам отказ (по различным причинам);
• принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
• следит за временем работы системы.

1. Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
2. Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
3. Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).

Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:

терминатор – уничтожитель трансактов;

склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;

счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;

менеджер – распорядитель ресурсов;

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

• СМО с отказами;
• СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

• одноканальные;
• многоканальные.

Характеристики системы массового обслуживания

Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

Входной поток требований

Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;

E(A) – среднее (МО) время поступления;

λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;

Характеристики входного потока:

1. Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
2. Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.

Дисциплина очереди

Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.

Очередь имеет имя.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел – первый обслуживаешься;

first in first out (FIFO)

самый распространенный тип очереди.

Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.

Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.

Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.

Действия со списком:

• вставить в хвост;
• взять из начала;
• удалить из списка по истечении времени ожидания.
• пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).

Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;

• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности.

Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.

Характеристики очереди

• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
• длина очереди.

Механизм обслуживания

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:

• количество каналов обслуживания (N );
• продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
• количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
• вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
• структура обслуживающей системы.

Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

S i – время обслуживания i -го требования;

E(S) – среднее время обслуживания;

μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.

Коэффициент использования СМО

N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.

ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.

Структура обслуживающей системы

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .

Пример. Кассы в магазине.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Пример. Медицинская комиссия.

Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.

Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• мощностью источника требований;
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди.

Основные критерии эффективности функционирования СМО

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);

Очевидно, что Р обсл + P отк =1.

Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина

Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.

D i – задержка в очереди требования i ;

W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .

(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).

Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;

L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.

Тогда показатели (если существуют)

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.

Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.

Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.

К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения

Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.

Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:

• абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
• относительная пропускная способность системы –

Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:

.

В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).

Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Виды систем массового обслуживания

В зависимости от того, как поступают с заявкой в случае, если все каналы оказались занятыми, различают:

СМО с отказом в обслуживании заявки и СМО с ожиданием.

Для СМО с отказом характерно, что заявка, заставшая все каналы занятыми, немедленно покидает систему.

В СМО с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а ставится в очередь и при освобождении одного из каналов обслуживается. В СМО с ожиданием на процесс ожидания заявок в очереди могут накладываться или не накладываться какие-либо ограничения. В последнем случае говорят, что имеют дело с "чистой" СМО с ожиданием. Если же на процесс ожидания накладываются ограничения, то СМО называют "системой смешанного типа". В таких системах из-за наложенных ограничений возможны случаи, когда заявка получит отказ в обслуживании, т.е. СМО смешанного типа проявляет также признаки СМО с отказом.

В системах смешанного типа могут накладываться следующие ограничения:

а) на количество заявок, стоящих в очереди;

б) на время пребывания заявки в очереди;

в) на общее время нахождения заявки в СМО.

В технологии РЭУ чаще всего встречаются СМО смешанного типа.

Математическое описание СМО с отказом

Рассмотрим систему массового обслуживания с отказом, имеющую п каналов. Предположим, что поток заявок, поступающих в СМО, простейший и имеет плотность l. Кроме того, будем считать, что время обслуживания заявок распределено по экспоненциальному закону с параметром

где М(Тоб) - математическое ожидание времени обслуживания заявки.

Следовательно, плотность распределения времени обслуживания

Для рассматриваемой системы возможны следующие состояния:

x 0 - свободны все каналы;

x 1 - занят один канал;

x k -- занято k каналов;

x n -- заняты все п каналов.

Данные состояния системы обслуживания могут быть описаны дифференциальными уравнениями Эрланга. их решение позволяет получить формулы для расчета вероятностей, которые для установившегося режима постоянны. Такой режим наступает при времени t® ¥ .

Коэффициент определяют как

где М(Тоб) - математическое ожидание времени обслуживания одной заявки.

Формулы Эрланга получены для случая экспоненциального распределения времени обслуживания, но справедливы и при любом другом законе, лишь бы поток заявок был простейшим.

Вероятность необслуживания заявки определяется как

q

Среднюю долю времени, которое система обслуживания будет простаивать, можно определить вероятностью состояния x 0 , т.е.

Р простоя = р(х 0) = р 0

Пример. Пусть на участок ремонта технологического оборудования поступают приборы со средней плотностью l = 2 ед/ч. Среднее время обслуживания одной единицы оборудования равно 24 мин (0,4 ч.). Заявка, заставшая все каналы занятыми получает отказ в обслуживании.

Требуется определить характеристики СМО в предположении наличия одного рабочего места. Кроме того, требуется установить, как меняются характеристики СМО при введении второго рабочего места.

Решение. По условию задачи имеем СМО с отказом. Будем предполагать, что поток заявок, поступающих в СМО, простейший со средней плотностью l.

1. Подсчитаем коэффициент загрузки канала или приведенную плотность заявок

2. Найдем характеристики СМО при числе каналов n= 1. Вероятность необслуживания заявок:

Относительная пропускная способность q определится, как

q=1- Р необ = 1 – 0,44 = 0,56.

Следовательно, примерно 56% заявок, поступивших в СМО, будут обслужены.

Вероятность простоя канала р 0