Метод скользящей средней в Microsoft Excel. Метод скользящей средней

Индикатор Moving Average — является одним из самых основных инструментов технического анализа на Форекс. Он представляет собой запаздывающую линию на графике, которая сглаживает ценовое действие. Причина отставания в том, что скользящая средняя усредняет определенное количество периодов на графике.

Основная функция которую даёт Скользящая Средняя, заключается в предоставлении трейдеру смысла полного направления тренда, а также может обеспечить сигналы для предстоящих ценовых движений. Кроме того, Скользящая Средняя может выступать в качестве важной области поддержки и сопротивления. Причина этого заключается в том, что ценовое действие имеет тенденцию соответствовать определенным психологическим уровням на графике.

Расчёт Скользящей Средней

Каждая Скользящая Средняя подлежит расчету, который дает выходной сигнал, который может быть построен на ценовом графике. Представьте, что у вас есть Простая Скользящая Средняя с 5 периодами на графике EUR/USD. Это означает, что каждый период на SMA даст вам среднее число этих 5 предыдущих периодов на графике. Таким образом, если цена EUR/USD начинает увеличиваться, SMA начнет увеличение 5 периодов позже. Если EUR/USD составляет 1.1000, 1.1100, 1.1200, 1.1300 и 1.1400 в течение пяти последовательных периодов, то SMA 5-периода даст нам значение:

• (1.1000 + 1.1100 + 1.1200 + 1.1300 + 1.1400) / 5 = 1.1200

Поэтому Скользящая Средняя является запаздывающим индикатором — потому что необходимо определенное количество периодов, чтобы показать значение. Что касается этого, скользящая средняя может быть установлена на любой период который вы хотите.

Вот как выглядит Скользящая Средняя на графике:

Это ценовой график с двумя Простыми Скользящими Средними. Синяя линия представляет собой SMA 5-периода, которая учитывает 5 периодов на графике, чтобы показать значение. Красная линия представляет собой SMA 20-периода, который учитывает 20 периодов на графике, чтобы показать значение.

Обратите внимание на то, что красная SMA 20-периода медленнее, чем синяя SMA 5-периода. Она более гладкая и не реагирует на небольшие колебания цен. Причина этого заключается в том, что SMA 20-периода принимает во внимание большее количество периодов. Таким образом, если у нас есть быстрое изменение цены, которая длится в течение одного периода, а затем цена возвращается в нормальное русло, остальные 19 периодов нейтрализуют это колебание. Смотрите расчет ниже:

Скажем цена зависла на 1,50 в течение 10 периодов. На одиннадцатом периоде цена достигает 1,55 — существенное движение в 500 пипсов. Затем в течение последующих 9 периодов цена возвращается и остается на 1,50. Что покажет SMA 20-периода?

• (19 х 1,55 + 1,50) / 20 = 1,5025 (значение SMA 20-периода)

Теперь скажем, старт цены на 1,50 в течение первого периода. Затем в течение второго периода цена достигает 1,55. Затем в течение следующих трех периодов цена возвращается и остается на 1,50. Что покажет SMA 5-периода?

• (4 х 1,55 + 1,50) / 5 = 1,5100 (значение SMA 5-периода)

Таким образом, в первом случае мы имеем значение 1.5025, которое едва дифференцирует от основного диапазона цены в 1,50. Во втором случае мы имеем значение 1.5100, что на 75 пунктов больше. Таким образом, SMA с большим периодом сглаживает цену лучше и меньше реагирует на отдельные барные колебания.

Типы Скользящих Средних

В зависимости от того, как рассчитываются скользящие средние, их существует несколько различных типов. Например, некоторые из линий Moving Average измеряют недавнее ценовое действие в большей степени, чем прошлое ценовое действие, другие рассматривают все ценовое действие одинаково за весь период. Давайте теперь взглянем на самые популярные типы Скользящих Средних:

Простая (Simple Moving Average или SMA)

Выше вы видели структуру наиболее распространенной Скользящей Средней — Простая Скользящая Средняя. Она просто дает среднее арифметическое периодов на графике.

Экспоненциальная (Exponential Moving Average или EMA)

Экспоненциальная Скользящая Средняя (EMA) является еще одной скользящей средней, которую часто используют трейдеры. Она выглядит так же, как и простая скользящая средняя на графике. Однако вычисление EMA отличается от расчета SMA. Причина этого заключается в том, что ЕМА делает больший акцент на более поздние периоды.

• М: множитель
• P: текущая цена

Предыдущая EMA: предыдущее значение EMA; Если нет предыдущее значение EMA, используется значение того же периода SMA.

Теперь мы должны вычислить множитель. Он относится к другой формуле:

• М = 2 / n + 1
• М: множитель
• n: соответствующие периоды
• Давайте теперь вычислим EMA 20-периода. Сначала мы вычислим множитель.
• М = 2/20 + 1
• М = 2/21
• M = 0,095 (0,0952380952380952)

Теперь мы будем вычислять текущую EMA. Тем не менее, нам потребуется предыдущее значение EMA. Скажем, предыдущее значение EMA равно 1.40, а текущая цена составляет 1,38. Значения которые мы имеем, мы будем использовать в формуле:

• EMA = М х Р + (1 — М) х (предыдущая EMA)
• M = 0,095
• P = 1,38
• Предыдущая EMA = 1,40
• EMA = 0,095 х 1,38 + (1 — 0,095) х 1,40
• EMA = 0,1311 + 0,905 х 1,40
• EMA = 0,1311 + 1,267
• EMA = 1,3981

Множитель, который мы рассчитали определяет акцент на недавние периоды. Таким образом, чем больше существует периодов, тем меньше будет акцент, так как он будет охватывать больше периодов. Теперь позвольте мне показать вам на графике чем ЕМА отличается от SMA:

Это дневной график EUR/USD с красными и синими Скользящими Средними 50-периода. Красная является SMA 50-периода, а синяя является EMA 50-периода. Как мы уже говорили, EMA и SMA отличаются, и они не двигаются вместе, потому что EMA делает акцент на более поздние периоды. Теперь посмотрим на черный эллипс и черную стрелку на графике. Обратите внимание на то, что свечи в эллипсе большие и бычьи, что указывает на сильное повышение цены. Это когда синяя EMA выходит выше красной SMA, потому что акцент ЕМА больше падает на эти свечи.

Взвешенная (Weighted Moving Average или WMA)

Взвешенная Скользящая Средняя имеет аналогичную структуру Экспоненциальной Скользящей Средней. Разница заключается в том, что WMA делает акцент на периоды с более высоким объемом. Вот как вычисляется WMA 5-периода:

• WMA 5-периода = (P1 х V1) + (P2 х V2) + (P3 х V3) + (P4 х В4) + (P5 х V5) / (V1 + V2 + V3 + V4 + V5)
• P: цена соответствующего периода
• V: объем в соответствующем периоде

Таким образом, чем выше объем периода, тем больше акцент будет сделан на этот период. Посмотрите на изображение ниже.

Этот часовой график EUR/USD показывает быстрый рост цен на больших объемах. У нас есть две скользящие средние на графике. Красная линия представляет собой 50-период Простой Скользящей Средней, а розовая линия является 50-периодом Взвешенного Скользящего Среднего Значениея.

В черном эллипсу мы видим стремительный рост цен. В черном квадрате мы видим, что рост цен происходит из-за высоких объемов торгов по паре EUR/USD. Именно поэтому WMA в это время переключается выше SMA — высокие объемы, а WMA делает акцент на более высокие показания объема.

Анализ тренда

Индикаторы Скользящих Средних (МА) могут помочь нам определить начало и конец тренда. Метод торговли включает в себя несколько сигналов, которые говорят нам, когда быть готовым для входа и выхода из рынка. Давайте поговорим о них еще…

1. Цена пересекает линию МА
2. Самый основной сигнал состоит в пересечении ценой самой Скользящей Средней.
3. Когда цена пробивает МА вверх, мы получаем бычий сигнал.
4. А если на оборот, когда цена пробивает Скользящую Среднюю вниз, мы получаем медвежий сигнал.

Это 4 часовой график USD/JPY с январь по февраль 2016 года, у нас на графике SMA 20-периода. На рисунке показаны четыре сигнала, вызванные ценовым действием и взаимодействия скользящей средней линии.

В первом случае цена пробивает SMA 20-периода в бычьем направлении. Это создает длинный сигнал. И в впоследствии рост цены. Второй сигнал на графике является медвежьим. Тем не менее сигнал — ложный прорыв, и цена быстро возвращается выше SMA. Затем цена пробивает SMA 20-периода в медвежьем направлении, создавая короткий сигнал. Следующее падение является довольно сильным и устойчивым.

Если вы торгуете по этой стратегии, вы должны помнить, что в целом, чем больше периодов, включенных в Скользящее среднее значение, тем надежнее сигнал. И многие трейдеры, которые следуют за простой системой скользящего среднего значения, очень тесно наблюдают за 50-дневной скользящей средней и 200-дневной линией скользящего среднего значения. Тем не менее, при использовании более высокой скользящей средней, отставание скользящей средней линии к действию текущей цены будет также большим. Это означает, что каждый сигнал будет приходить позже, чем когда мы используем Скользящую Среднюю с меньшим количеством периодов.

Это тот же самый график USD/JPY, но на этот раз у нас на графике размещена SMA 30-периода вместе с оригинальной 20-периодной SMA. Обратите внимание на то, что синяя SMA 30-периода изолирует фальшивый сигнал. Тем не менее, сигнал для сильного медвежьего тренда наступает позднее, чем на 20-периодной SMA (красная). Длинный сигнал в конце тренда наступает также позже. Имейте в виду, что не существует оптимального значения скользящей средней линии, которая может использоваться на всех рынках или даже на одном.

Пересечение скользящих средних

Пересекающийся сигнал Скользящего среднего значения включает в себя использование более одной скользящей средней. Для того, чтобы получить пересечение скользящих средних, мы должны видеть, что более быстрое Скользящее среднее значение ломает более медленное скользящее среднее значение. Если переход находится в бычьем направлении, мы получим длинный сигнал. Если переход находится в медвежьем направлении, мы получаем короткий сигнал.

Это месячный график пары EUR/USD за период с 2007 по 2016 год. Синяя линия на графике представляет собой SMA 150-периода. Обратите внимание на то, что пару раз цена EUR/USD тестировала SMA 150-периода в качестве поддержки. Два теста произошли в середине 2010 года и в середине 2012 года. В середине 2014 года цена снизилась до SMA 150-периода для нового теста. Тем не менее, SMA была резко сломана в медвежьем направлении, в результате чего цена EUR/USD упала до 12-летнего минимума.

Это еще один пример Скользящей Средней на дневном графике USD/JPY. Изображение показывает 200 дневную скользящую среднюю линию на графике. Цена пробивает 200-дневный SMA, а затем проверяет его в качестве сопротивления. Это говорит о важности 200-периода SMA на дневном таймфрейме.

Торговля по Фибоначчи и Скользящим Средним

Существует психологическая связь между отношениями Фибоначчи и некоторыми Скользящими средними значениями. Трейдеры могут использовать скользящие средние на основе чисел Фибоначчи, для помощи в обнаружении динамической области поддержки и сопротивления на ценовом графике. Давайте посмотрим на пример:

Изображение выше показывает дневной график GBP/USD с сентября 2013 года по август 2014 года. На графике отображаются три Простых Скользящих Средних, что соответствует следующим числам Фибоначчи:

• Синий: SMA 8-периода
• Красный: SMA 21-периода
• Желтый: SMA 89-периода

Как вы видите, периоды чисел этих SMA взяты из известной последовательности Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д.

На приведенном выше графике мы используем желтую Простую Скользящую Среднюю 89 периода в качестве поддержки сильного восходящего тренда. В то же время, пересечения синего 8 периода и красного 21 периода SMA могут использоваться для точных точек входа и выхода на потенциальных торговых позициях. На нашем примере, мы имеем 5 потенциально хороших торговых условий на пути вверх. Когда цена тестирует желтый 89 период SMA в качестве поддержки и отскакивает вверх, происходит длинный сигнал, когда синяя и красная SMA пересекаются вверх после отскока (зеленые кружки). Сигнал выхода приходит после того, как происходит пересечение в противоположном направлении (красный круг).

Обратите внимание на то, что после последней длинной сделки, цена уменьшается через желтую SMA 89-периода, что дает сильный сигнал разворота.

Во всех примерах выше мы использовали Простые Скользящие Средние, потому что они являются одними из наиболее часто используемых в торговле на Форекс. Тем не менее, торговые стратегии описанные выше будут работать точно так же и с другими типами скользящих средних — экспоненциальное, Volume Weighted, и т.д.

Во всех примерах выше мы использовали Простые Скользящие средние значения, потому что это — то, обычно используемое в торговле Форекса. Тем не менее, торговые стратегии выше работали бы тот же самый путь с различными скользящими средними значениями – Экспоненциальной, Взвешенной, и т.д.

Заключение

Индикатор Moving Average является одним из наиболее важных инструментов технического анализа на Форекс.

Существуют различные типы скользящих средних на основе критериев для усреднения периодов. Некоторые из наиболее широко используемых скользящих средних:
Простая скользящая средняя (SMA): Это простое среднее арифметическое из выбранных периодов.
Экспоненциальная скользящая средняя (EMA): Она делает акцент на более поздних периодах.
Взвешенная Скользящая Средняя (WMA): Она делает акцент на периоды с более высокими объемами торгов

Скользящие средние могут быть использованы для получения сигналов входа и выхода. Два основных сигнала Moving Average:

• Цена пересекает скользящую среднюю
• Многократное пересечение скользящих средних

Некоторые самые важные уровни Скользящего Среднего Значения:

• SMA с 50 периодом
• SMA с 100 периодом
• SMA с 150 периодом
• SMA с 200 периодом

Трейдеры могут осуществлять с добавлением Скользящих Средних, которые отвечают на хорошо известную последовательность чисел Фибоначчи. Некоторые наиболее используемые:

• 8-период SMA
• 21-период SMA
• 89-период SMA

Вначале рассмотрим несколько простейших методов прогнозирования, не учитывающих наличия сезонности во временном ряде. Предположим, что в журнале РБК приведена сводка за последние 12 дней (включая сегодняшний) цен на апельсины, сложившихся на момент закрытия биржи. Используя эти данные, нужно предсказать завтрашнюю цену на какао (также на момент закрытия биржи). Рассмотрим несколько способов сделать это.

Если последнее (сегодняшнее) значение наиболее значимо по сравнению с остальными, то оно является наилучшим прогнозом на завтра.

Возможно, из-за быстрого изменения цен на бирже первые шесть значений уже устарели и не актуальны, в то время как последние шесть значимы и имеют равную ценность для прогноза. Тогда в качестве прогноза на завтра можно взять среднее последних шести значений.

Если все значения существенны, но сегодняшнее 12-е значение наиболее значимо, а предыдущие 11-е, 10-е, 9-е и т.д. имеют все меньшую и меньшую значимость, следует найти взвешенное среднее всех 12 значений. Причем весовые коэффициенты для последних значений должны быть больше, чем для предыдущих, и сумма всех весовых коэффициентов должна равняться 1.

Первый способ называется «наивным» прогнозом и достаточно очевиден. Рассмотрим подробнее остальные способы.

Метод скользящего среднего

Одним из предположений, лежащих в основе данного метода, является то, что более точный прогноз на будущее можно получить, если использовались недавние наблюдения, причем, чем «новее» данные, тем их вес для прогноза должен быть больше. Удивительно, но такой «наивный» подход оказывается чрезвычайно полезным для практики. Например, многие авиакомпании используют частный тип скользящего среднего для создания прогнозов спроса на авиаперелеты, которые, в свою очередь, используются в сложных механизмах управления и оптимизации доходов. Более того, практически все программные пакеты управления запасами содержат модули, выполняющие прогнозы на основе того или иного типа скользящего среднего.

Рассмотрим следующий пример. Маркетологу нужно спрогнозировать спрос на производимые его компанией станки. Данные по объемам продаж за последний год работы компании находятся в файле «ЛР6.Пример 1.Станки.xls».

Простое скользящее среднее . В этом методе среднее фиксированного числа N последних наблюдений используется для оценки следующего значения временно ряда. Например, используя данные о продажах станков за первые три месяца года, менеджер получает для апреля значение, используя формулу, приведённую ниже:

Менеджер вычислил объем продаж на основе простого скользящего среднего за 3 и 4 месяца. Однако требуется определить, какое количество узлов даёт более точный прогноз. Для оценки точности прогнозов используются среднее абсолютных отклонений (САО) исреднее относительных ошибок , в процентах (СООП), вычисляемые по формулам (3) и (4).

где x i –i -ое реальное значение переменной вi -й момент времени, аx ’ i –i -ое спрогнозированное значение переменной вi -й момент времени, N - количество прогнозов.

Согласно результатам, полученным на листе «Простое ск. среднее» рабочей книги «ЛР6.Пример 1.Станки.xls» (см. Рисунок 56), скользящее среднее за три месяца имеет значение САО равное 12,67 (ячейка D16 ), тогда как для скользящего среднего за 4 месяца значение САО равно 15,59 (ячейка F16 ). Тогда можно выдвинуть гипотезу, что использование большего количества статистических данных скорее ухудшает, чем улучшает точность прогноза методом скользящего среднего.

Рисунок 56. Пример 1 – результаты прогнозирования методом простого скользящего среднего

На графике (см. Рисунок 57), построенном по результатам наблюдений и прогнозов с интервалом 3 месяца, можно заметить ряд особенностей, общих для всех применений метода скользящего среднего.

Рисунок 57. Пример 1 – график кривой прогноза методом простого скользящего среднего и график реального объёма продаж

Значение прогноза, полученное методом простого скользящего среднего, всегда меньше фактического значения, если исходные данные монотонно возрастают, и больше фактического значения, если исходные данные монотонно убывают. Поэтому, если данные монотонно возрастают или убывают, то с помощью простого скользящего среднего нельзя получить точных прогнозов. Этот метод лучше всего подходит для данных с небольшими случайными отклонениями от некоторого постоянного или медленно меняющегося значения.

Основной недостаток метода простого скользящего среднего возникает в результате того, что при вычислении прогнозируемого значения самое последнее наблюдение имеет такой же вес (т. е. значимость), как и предыдущие. Это происходит потому, что вес всех N последних наблюдений, участвующих в вычислении скользящего среднего, равен 1/N. Присвоение равного веса противоречит интуитивному представлению о том, что во многих случаях последние данные могут больше сказать о том, что произойдет в ближайшем будущем, чем предыдущие.

Взвешенное скользящее среднее . Вклад различных моментов времени можно учесть, вводя вес для каждого значения показателя в скользящем интервале. В результате получается метод взвешенного скользящего среднего, который математически можно записать так:

где - вес, с которым используется показательпри расчете.

Вес - это всегда положительное число. В случае, когда все веса одинаковы, вырождается метод простого скользящего среднего.

Теперь маркетолог может использовать метод взвешенного скользящего среднего за 3 месяца. Но прежде требуется понять, как выбрать веса. Используя средство Поиск решения, можно определить оптимальный вес узлов. Чтобы определить вес узлов с помощью средства Поиск решения, при котором значение среднего абсолютных отклонений было бы минимально, выполните следующие действия:

Выберите команду Сервис -> Поиск решения.

В диалоговом окне Поиска решения установите ячейку G16 целевой (см. лист «Веса»), минимизируя её.

Изменяемыми ячейками укажите диапазон В1:В3.

Установите ограничения В4 = 1,0; В1:ВЗ ≥ 0; В1:В3 ≤ 1; B1 ≤ В2 и В2 ≤ В3.

Запустите поиск решения (результат отображает).

Рисунок 58. Пример 1 – результат поиска весов значений показателей при использовании метода взвешенного скользящего среднего

Полученные результаты показывают, что оптимальное распределение весов таково, что весь вес сосредоточен на самом последнем наблюдении, при этом значение среднего абсолютных отклонений равно 7,56 (см. также Рисунок 59). Этот результат подтверждает предположение о том, что более поздние наблюдения должны иметь больший вес.

Рисунок 59. Пример 1 – график кривой прогноза методом взвешенного скользящего среднего и график реального объёма продаж

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод скользящих средних является одним из широко известных методов сглаживания временных рядов. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов.

Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода).

Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.

При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал сглаживания, тем более плавным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на (n–1) наблюдений, где n – величина интервала сглаживания.

При больших значениях n колеблемость сглаженного ряда значительно снижается. Одновременно заметно сокращается количество наблюдений, что создает трудности.

Выбор интервала сглаживания зависит от целей исследования. При этом следует руководствоваться тем, в какой период времени происходит действие, а следовательно, и устранение влияния случайных факторов.

Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула:

Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом скользящей средней

Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:

1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).

2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:

где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52
Определяем скользящую среднюю m для октября.
m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5
Строим прогноз на декабрь.
У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53
Определяем скользящую среднюю m для ноября.
m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49
Строим прогноз на январь.
У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49
Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 9,01/8 = 1,13% точность прогноза высокая.

Далее решим данную задачу методами экспоненциального сглаживания и наименьших квадратов . Сделаем выводы.

Это один из самых старых и широко известных способов сглаживания временного ряда. Сглаживание представляет собой некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Так, метод скользящей средней основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого выбрана заранее (данный интервал времени часто называют "окном"). При этом сам выбранный интервал скользит вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко чем исходный ряд, за счет усреднения отклонений исходного ряда. Таким образом, эта процедура дает представление об общей тенденции поведения ряда. Ее применение особенно полезно для рядов с сезонными колебаниями и неясным характером тренда.

Формальное определение метода скользящей средней для окна сглаживания, длина которого выражается нечетным числом p=2m+1. Пусть имеются измерения во времени: y 1 , y 2 …y n .

Тогда метод скользящей средней состоит в том, что исходный временной ряд преобразуется в ряд сглаженных значений (оценок) по формуле:

Где р – размер окна, j – порядковый номер уровня в окне сглаживания, m – величена, определяемая по формуле: m = (p-1) / 2.

При применении метода скользящей средней выбор размера окна сглаживания p должен осуществляться исходя из соображений и привязанности к периоду сезонности для сезонных волн. Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания не сезонных рядов, то окно выбирают равным трем, пяти или семи. Чем больше размер окна, тем более гладкий вид имеет график скользящих средних.

Задача 2. На основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 2002-2003 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной скользящей средней.

	Стиральные машины, тыс. шт.	Трехчленные скользящие суммы	Трехчленные скользящие средние

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трехчленные суммы, а затем среднюю:

и т.д.

Для реализации процедуры скользящей средней можно воспользоваться функцией Microsoft Excel. В закладке "Анализ данных" выбираем "скользящее среднее". Этот режим работы служит для сглаживания уровней временного ряда на основе метода простой скользящей средней. Указывается интервал – т.е. размер окна сглаживания. По умолчанию р=3. Получаем на выходе следующий результат:

	Стиральные машины, тыс. шт.	Трехчленные скользящие средние, полученные с помощью инструмента "Скользящее среднее"	Трехчленные скользящие средние, полученные выше вручную

На графике отображен исходный ряд и сглаженный. Теперь для сглаженного ряда проще и точнее можно определить основную тенденцию (например, подобрать линию тренда).

2.3.1. Задание*

В первых двух столбцах таблицы 17 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период. Провести сглаживание данных методом скользящего среднего с окном сглаживания k =3.

2.3.2. Выполнение задания

Скользящее среднее вычисляется с помощью функции СРЗНАЧ. Результаты расчета представлены в третьем столбце таблицы 16 и иллюстрируются рисунком 8.

Таблица 17. Спроса на товар

2.4. Выделение трендовой и циклической компонент временного ряда**

Задание 1

В таблице 18 представлены данные об объеме y потребления энергии за четыре года (время t измеряется в кварталах). Сгладить временной ряд методом скользящего среднего, самостоятельно подобрав размер k окна сглаживания.

2.4.2. Выполнение задания 1

Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 9) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом T п =4. Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r (1,t) (см. таблицу 19) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.10), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает (см. §1.2), что T п =4. Окно сглаживания следует выбрать равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=T п =4. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга).

В третьем столбце таблицы 18 приведены результаты расчета скользящего среднего u 1 (t ) для k =4. Средняя точка t ср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t =1, 2, 3, 4) t ср =2,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t =2. Для второго окна t ср =3,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t =3. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна.

Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна t ср необходимо применить к u 1 (t ) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u 2 (t )=[u 1 (t -1)+u 1 (t )]/2. Результаты расчета приведены в таблице 18 (четвертый столбец). Напомним (см. также §1.5), что расчет u 2 нужен только в случае четного k . Для нечетного k средняя точка окна сглаживания t ср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени.

Таблица 18. Расчет тренда и циклической составляющей

t	y	u 1	u 2	S 1 =y -u 2	S 2	S 3	S	T+E =Y -S	T	E
							0,581	5,419	5,902	-0,483
	4,4	6,100					-1,977	6,377	6,088	0,289
		6,400	6,250	-1,250	-1,275	-1,294	-1,294	6,294	6,275	0,019
		6,500	6,450	2,550	2,708	2,690	2,690	6,310	6,461	-0,151
	7,2	6,750	6,625	0,575	0,600	0,581	0,581	6,619	6,648	-0,029
	4,8	7,000	6,875	-2,075	-1,958	-1,977	-1,977	6,777	6,834	-0,057
		7,200	7,100	-1,100			-1,294	7,294	7,020	0,273
		7,400	7,300	2,700			2,690	7,310	7,207	0,104
		7,500	7,450	0,550			0,581	7,419	7,393	0,026
	5,6	7,750	7,625	-2,025			-1,977	7,577	7,580	-0,003
	6,4	8,000	7,875	-1,475			-1,294	7,694	7,766	-0,072
		8,250	8,125	2,875			2,690	8,310	7,952	0,358
		8,400	8,325	0,675			0,581	8,419	8,139	0,280
	6,6	8,350	8,375	-1,775			-1,977	8,577	8,325	0,252
				Сумма	0,075	0,000	-1,294	8,294	8,512	-0,218
	10,8			Среднее	0,019	0,000	2,690	8,110	8,698	-0,588

Задание 2

Вычислить значения циклической компоненты временного ряда по данным таблицы 18. Результаты записать в эту же таблицу.

2.4.4. Выполнение задания 2

Рассматриваемый временной ряд описывается аддитивной моделью, так как амплитуда колебаний уровней ряда практически не зависит от времени (см. рис. 9). По формуле (43) (учитывая, что T »u 2) рассчитываем S

Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для аддитивной модели ряда должно равняться нулю, то выравниваем значения S 2: S 3 = S 2 -S 2 ср, где через S 2 ср обозначено среднее значение S S получены копированием S 3 по всем периодам.

Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: T +E =Y -S (см. формулу (40)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T (t )=0,186t +5,72. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E =Y -T -S , – значения случайной компоненты E .

На рис. 9 компоненты ряда показаны графически. Так как случайная компонента существенно меньше остальных компонент ряда, можно считать, что полученные оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы.

Задание 3

В первых двух столбцах таблицы 20 приведены поквартальные данные о прибыли компании (в усл. ед.) за последние четыре года. Определить трендовую, циклическую и случайную компоненты временного ряда.

2.4.6. Выполнение задания 3

Из графика зависимости y (t ) (см. рис. 11,а) видно, что временной ряд со­держит циклическую компоненту с периодом T п =4. Построив коррелограмму (которая здесь не приводится), можно удостовериться, что максимум коэффи­циента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает, что T п =4. Окно сглаживания выбираем равным (см. §1.5) пе­риоду циклической составляющей: k=T п =4.

В третьем и четвертом столбце таблицы 20 приведены результаты рас­чета приближений тренда u 1 (t ) и u 2 (t ), полученные так же, как в таблице 18.

Для рассматриваемого временного ряда следует выбрать мультиплика­тивную модель, так как амплитуда колебаний уровней ряда изменяется про­порционально тренду (см. рис. 11,а). По формуле (44) (учитывая, что T »u 2) рас­считываем S 1 – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S 2 получены усреднением S 1 по периодам. Так как среднее зна­чение циклической компоненты за период для мультипликативной модели должно равняться единице, то от S 2 переходим к следующему приближению циклической компоненты: S 3 = S 2 /S 2 ср, где S 2 ср – среднее значение S 2 . Значения циклической компоненты S получены копированием S 3 по всем периодам.

Далее вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE =Y /S (см. формулу (41)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), по­лучим формулу для тренда: T (t )=-2,77t +90,57. По этой формуле вычислим зна­чения тренда, а затем – значения случайной компоненты E (E =Y /(TS )). Абсо­лютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs =Y -TS .

На рис. 11 компоненты ряда показаны графически. Заметим, что абсо­лютная погрешность существенно меньше уровней ряда и тренда. Кроме того, случайная компонента практически для всех значе­ний t близка к единице. По­этому оценки тренда и циклической составляю­щей вполне приемлемы.

Таблица 20. Данные о прибыли компании

t	y	u 1	u 2	S 1	S 2	S 3	S	T *E =Y /S	T	E	Eabs
							0,914	78,804	87,792	0,898	-8,212
		81,5					1,202	83,182	85,019	0,978	-2,208
			81,25	1,108	1,088	1,082	1,082	83,153	82,245	1,011	0,982
				0,800	0,806	0,802	0,802	79,819	79,472	1,004	0,278
		76,5	77,75	0,900	0,918	0,914	0,914	76,615	76,699	0,999	-0,077
			75,75	1,215	1,208	1,202	1,202	76,527	73,926	1,035	3,127
				1,081			1,082	73,914	71,152	1,039	2,989
			71,5	0,811			0,802	72,336	68,379	1,058	3,173
			68,5	0,905			0,914	67,859	65,606	1,034	2,059
		64,5	65,75	1,217			1,202	66,545	62,833	1,059	4,463
			63,25	1,075			1,082	62,827	60,059	1,046	2,995
			59,5	0,807			0,802	59,865	57,286	1,045	2,067
		52,5	54,75	0,950			0,914	56,914	54,513	1,044	2,194
			50,25	1,194			1,202	49,909	51,740	0,965	-2,201
				Сумма	4,021		1,082	46,196	48,966	0,943	-2,998
				Среднее	1,005		0,802	37,415	46,193	0,810	-7,038

3. Задание на самостоятельную работу

1. В таблице 21* представлены данные о производительности труда Y для некоторого предприятия с 1987 по 1996 г. Получить уравнения и графики трендов: линейного, логарифмического, степенного, полиномиального, экспоненциального. Выбрать из них тренд, наиболее соответствующий наблюдениям (сравни­вая значение R 2). Для выбранного тренда проверить гипотезу независимости остатков по критерию Дарбина-Уотсона (при n =10 d н =0,88 d в =1,32). Зачем надо проверять эту гипотезу?

2. В таблице 22** приведено среднее число y яиц на несушку на каждый месяц по США с 1938 по 1940 г. Требуется:

1) построить график y (t ) и коррелограмму. Анализируя их, ответить на вопросы: содержит ли ряд линейный тренд? Содержит ли ряд циклическую со­ставляющую? Чему равен период циклической составляющей Тц? Какая модель подходит для описания ряда – аддитивная или мультипликативная?

2) определить компоненты ряда.

Таблица 22. Среднее число y яиц на несушку

3. В таблице 23 даны уровни некоторого ряда, время t измеряется в кварталах. Провести для этих данных исследования, аналогичные п.2.

Таблица 23. Уровни ряда

t

y

Практическая работа №5. Использование фиктивных
переменных при решении задач эконометрики

Теоретическая часть