Обозначения и символика. Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная Как обозначаются скрещивающиеся

В этой статье сначала дадим определение угла между скрещивающимися прямыми и приведем графическую иллюстрацию. Далее ответим на вопрос: «Как найти угол между скрещивающимися прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых в прямоугольной системе координат»? В заключении попрактикуемся в нахождении угла между скрещивающимися прямыми при решении примеров и задач.

Навигация по странице.

Угол между скрещивающимися прямыми - определение.

К определению угла между скрещивающимися прямыми будем подходить постепенно.

Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.

Приведем еще вспомогательные рассуждения.

Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Построим прямые a 1 и b 1 так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и b соответственно и проходили через некоторую точку пространства M 1 . Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a 1 и b 1 . Пусть угол между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 равен углу . Теперь построим прямые a 2 и b 2 , параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно, проходящие через точку М 2 , отличную от точки М 1 . Угол между пересекающимися прямыми a 2 и b 2 также будет равен углу . Это утверждение справедливо, так как прямые a 1 и b 1 совпадут с прямыми a 2 и b 2 соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М 1 перейдет в точку М 2 . Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М .

Теперь мы готовы к тому, чтобы дать определение угла между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки M . Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.

Приведем иллюстрацию определения угла между скрещивающимися прямыми.

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.

Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов , а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.

Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.

Пусть в трехмерном пространстве введена Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).

Поставим перед собой задачу: найти угол между скрещивающимися прямыми a и b , которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве .

Решим ее.

Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a 1 и b 1 , параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 по определению.

Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a 1 и b 1 . Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a 1 и b 1 .

Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора прямой позволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a 1 и b 1 можно принять направляющие векторы и прямых a и b соответственно.

Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется по формуле
, где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми a и b имеет вид .

Позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус: .

Осталось разобрать решения примеров.

Пример.

Найдите угол между скрещивающимися прямыми a и b , которые определены в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями и .

Решение.

Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу определить координаты направляющего вектор этой прямой – их дают числа в знаменателях дробей, то есть, . Параметрические уравнения прямой в пространстве также дают возможность сразу записать координаты направляющего вектора – они равны коэффициентам перед параметром, то есть, - направляющий вектор прямой . Таким образом, мы располагаем всеми необходимыми данными для применения формулы, по которой вычисляется угол между скрещивающимися прямыми:

Ответ:

Угол между заданными скрещивающимися прямыми равен .

Пример.

Найдите синус и косинус угла между скрещивающимися прямыми, на которых лежат ребра AD и BC пирамиды АВСD , если известны координаты ее вершин: .

Решение.

Направляющими векторами скрещивающихся прямых AD и BC являются векторы и . Вычислим их координаты как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора:

По формуле мы можем вычислить косинус угла между указанными скрещивающимися прямыми:

Теперь вычислим синус угла между скрещивающимися прямыми:

Символика генетики

Символика - перечень и объяснение условных названий и тер­минов, употребляемых в какой-либо отрасли науки.

Основы генетической символики были заложены Грегором Менде­лем, применившим буквенную символику для обозначения признаков. Доминантные признаки были обозначены заглавными буквами латин­ского алфавита А, В, С и т. д., рецессивные - малыми буквами - а, в, с и т. д. Буквенная символика, предложенная Менделем, по сути, алгеб­раическая форма выражения законов наследования признаков.

Для обозначения скрещивания принята следующая символика.

Родители обозначаются латинской буквой Р (Parents - родители), затем рядом записывают их генотипы. Женский пол обозначают сим­волом ♂ (зеркало Венеры), мужской - ♀ (щит и копье Марса). Между родителями ставят знак «х», обозначающий скрещивание. Генотип женской особи пишут на первом месте, а мужской - на втором.

Первое по­ коление обозначается F1 (Filli - дети), второе поколение - F2 и т. д. Рядом приводят обозначения генотипов потомков.

Словарь основных терминов и понятий

Альтернативные признаки – взаимоисключающие, контрастные признаки.

Гаметы (от греч. «гаметес » – супруг) – половая клетка растительного или животного организма, несущая один ген из аллельной пары. Гаметы всегда несут гены в «чистом» виде, т. к. образуются путем мейотического деления клеток и содержат одну из пары гомологичных хромосом.

Ген (от греч. «генос » – рождение) – участок молекулы ДНК, несущий информацию о первичной структуре одного конкретного белка.

Гены аллельные – парные гены, расположенные в идентичных участках гомологичных хромосом.

Генотип - совокупность наследственных задатков (генов) организма.

Гетерозигота (от греч. «гетерос » – другой и зигота) – зигота, имеющая два разных аллеля по данному гену (Аа, Вb ).

Гомозигота (от греч. «гомос » – одинаковый и зигота) – зигота, имеющая одинаковые аллели данного гена (оба доминантные или оба рецессивные).

Гомологичные хромосомы (от греч. «гомос » – одинаковый) – парные хромосомы, одинаковые по форме, размерам, набору генов. В диплоидной клетке набор хромосом всегда парный: одна хромосома из пары материнского происхождения, вторая – отцовская.

Доминантный признак (ген ) – преобладающий, проявляющийся – обозначается заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т. д.

Рецессивный признак (ген) – подавляемый признак – обозначается соответствующей строчной буквой латинского алфавита: а, b с и т. д

Скрещивание анализирующее – скрещивание испытуемого организма с другим, являющимся по данному признаку рецессивной гомозиготой, что позволяет установить генотип испытуемого.

Скрещивание дигибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по двум парам альтернативных признаков.

Скрещивание моногибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по одной паре альтернативных признаков.

Фенотип - совокупность всех внешних признаков и свойств организма, до­ступных наблюдению и анализу.

ü Алгоритм решения генетических задач

1. Внимательно прочтите уровень задачи.

2. Сделайте краткую запись условия задачи.

3. Запишите генотипы и фенотипы скрещиваемых особей.

4. Определите и запишите типы гамет, которые образуют скрещиваемые особи.

5. Определите и запишите генотипы и фенотипы полученного от скрещивания потомства.

6. Проанализируйте результаты скрещивания. Для этого определите количество классов потомства по фенотипу и генотипу и запишите их в виде числового соотношения.

7. Запишите ответ на вопрос задачи.

(При решении задач по определённым темам последовательность этапов может изменяться, а их содержание модифицироваться.)

ü Оформление задач

1. Первым принято записывать генотип женской особи, а затем – мужской (верная запись - ♀ААВВ х ♂аавв; неверная запись - ♂аавв х ♀ААВВ).

2. Гены одной аллельной пары всегда пишутся рядом (верная запись – ♀ААВВ; неверная запись ♀АВАВ).

3. При записи генотипа, буквы, обозначающие признаки, всегда пишутся в алфавитном порядке, независимо, от того, какой признак – доминантный или рецессивный – они обозначают (верная запись - ♀ааВВ; неверная запись -♀ ВВаа).

4. Если известен только фенотип особи, то при записи её генотипа пишут лишь те гены, наличие которых бесспорно. Ген, который невозможно определить по фенотипу, обозначают значком «_» (например, если жёлтая окраска (А) и гладкая форма (В) семян гороха – доминантные признаки, а зелёная окраска (а) и морщинистая форма (в) – рецессивные, то генотип особи с жёлтыми морщинистыми семенами записывают следующим образом: А_вв ).

5. Под генотипом всегда пишут фенотип.

6. Гаметы записывают, обводя их кружком (А).

7. У особей определяют и записывают типы гамет, а не их количество

верная запись неверная запись

♀ АА ♀ АА

А А А

8. Фенотипы и типы гамет пишутся строго под соответствующим генотипом.

9. Записывается ход решения задачи с обоснованием каждого вывода и полученных результатов.

10. Результаты скрещивания всегда носят вероятностный характер и выражаются либо в процентах, либо в долях единицы (например, вероятность образования потомства, восприимчивого к головне, 50%, или ½. Соотношение классов потомства записывается в виде формулы расщепления (например, жёлтосеменные и зелёносеменные растения в соотношении 1:1).

Пример решения и оформления задач

Задача. У арбуза зелёная окраска (А) доминирует над полосатой. Определите генотипы и фенотипы F1 и F2, полученных от скрещивания гомозиготных растений, имеющих зелёную и полосатую окраску плодов.

Генетическая символика

Символика — перечень и объяснение условных названий и терминов, употребляемых в какой-либо отрасли науки.

Основы генетической символики были заложены Грегором Менделем, применившим буквенную символику для обозначения признаков. Доминантные признаки были обозначены заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д., рецессивные — малыми буквами — а, в, с и т.д. Буквенная символика, предложенная Менделем, по сути, алгебраическая форма выражения законов наследования признаков.

Для обозначения скрещивания принята следующая символика.

Родители обозначаются латинской буквой Р (Parents — родители), затем рядом записывают их генотипы. Женский пол обозначают сим волом ♂ (зеркало Венеры), мужской — ♀ (щит и копье Марса). Между родителями ставят знак «х», обозначающий скрещивание. Генотип женской особи пишут на первом месте, а мужской - на втором.

Первое по коление обозначается F 1 (Filli — дети), второе поколение — F 2 и т.д. Рядом приводят обозначения генотипов потомков.

Словарь основных терминов и понятий

Аллели (аллельные гены) — разные формы одного гена, возникшие в результате мутаций и расположенные в одинаковых точках (локусах) парных гомологичных хромосом.

Альтернативные признаки – взаимоисключающие, контрастные признаки.

Гаметы (от греч. « гаметес » – супруг) – половая клетка растительного или животного организма, несущая один ген из аллельной пары. Гаметы всегда несут гены в «чистом» виде, т.к. образуются путем мейотического деления клеток и содержат одну из пары гомологичных хромосом.

Ген (от греч. « генос » – рождение) – участок молекулы ДНК, несущий информацию о первичной структуре одного конкретного белка.

Гены аллельные – парные гены, расположенные в идентичных участках гомологичных хромосом.

Генотип — совокупность наследственных задатков (генов) организма.

Гетерозигота (от греч. « гетерос » – другой и зигота) – зигота, имеющая два разных аллеля по данному гену (Аа, Вb ).

Гетерозиготными называют особей, получивших от родительских особей разные гены. Гетерозиготная особь в потомстве дает расщепление по данному признаку.

Гомозигота (от греч. « гомос » – одинаковый и зигота) – зигота, имеющая одинаковые аллели данного гена (оба доминантные или оба рецессивные).

Гомозиготными называют особей, получивших от родительских особей одинаковые наследственные задатки (гены) по какому-то конкретному признаку. Гомозиготная особь в потомстве не дает расщепления.

Гомологичные хромосомы (от греч. « гомос » – одинаковый) – парные хромосомы, одинаковые по форме, размерам, набору генов. В диплоидной клетке набор хромосом всегда парный: одна хромосома из пары материнского происхождения, вторая – отцовская.

Гетерозиготными называют особей, получивших от родительских особей разные гены. Таким образом, по генотипу особи могут быть гомозиготными (АА или аа) или гетерозиготными (Аа).

Доминантный признак (ген ) – преобладающий, проявляющийся – обозначается заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т. д.

Рецессивный признак (ген) – подавляемый признак – обозначается соответствующей строчной буквой латинского алфавита: а, b с и т. д

Скрещивание анализирующее – скрещивание испытуемого организма с другим, являющимся по данному признаку рецессивной гомозиготой, что позволяет установить генотип испытуемого.

Скрещивание дигибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по двум парам альтернативных признаков.

Скрещивание моногибридное – скрещивание форм, отличающихся друг от друга по одной паре альтернативных признаков.

Чистые линии – организмы, гомозиготные по одному или нескольким признакам и не дающие в потомстве проявления альтернативного признака.

Фен – признак.

Фенотип — совокупность всех внешних признаков и свойств организма, до ступных наблюдению и анализу.

Алгоритм решения генетических задач

1. Внимательно прочтите уровень задачи.
2. Сделайте краткую запись условия задачи.
3. Запишите генотипы и фенотипы скрещиваемых особей.
4. Определите и запишите типы гамет, которые образуют скрещиваемые особи.
5. Определите и запишите генотипы и фенотипы полученного от скрещивания потомства.
6. Проанализируйте результаты скрещивания. Для этого определите количество классов потомства по фенотипу и генотипу и запишите их в виде числового соотношения.
7. Запишите ответ на вопрос задачи.

(При решении задач по определённым темам последовательность этапов может изменяться, а их содержание модифицироваться.)

Оформление задач

1. Первым принято записывать генотип женской особи, а затем – мужской (верная запись - ♀ААВВ х ♂аавв; неверная запись - ♂ аавв х ♀ААВВ).
2. Гены одной аллельной пары всегда пишутся рядом (верная запись – ♀ААВВ; неверная запись ♀АВАВ).
3. При записи генотипа, буквы, обозначающие признаки, всегда пишутся в алфавитном порядке, независимо, от того, какой признак – доминантный или рецессивный – они обозначают (верная запись - ♀ааВВ; неверная запись -♀ ВВаа).
4. Если известен только фенотип особи, то при записи её генотипа пишут лишь те гены, наличие которых бесспорно. Ген, который невозможно определить по фенотипу, обозначают значком «_» (например, если жёлтая окраска (А) и гладкая форма (В) семян гороха – доминантные признаки, а зелёная окраска (а) и морщинистая форма (в) – рецессивные, то генотип особи с жёлтыми морщинистыми семенами записывают следующим образом: А_вв ).
5. Под генотипом всегда пишут фенотип.
6. Гаметы записывают, обводя их кружком (А).
7. У особей определяют и записывают типы гамет, а не их количество