) — материал, структура которого характеризуется периодическим изменением показателя преломления в 1, 2 или 3 пространственных направлениях.

Описание

Отличительная особенность фотонных кристаллов (ФК) - наличие пространственно периодического изменения показателя преломления. В зависимости от числа пространственных направлений, вдоль которых показатель преломления периодически изменяется, фотонные кристаллы называются одномерными, двумерными и трехмерными, или сокращенно 1D ФК, 2D ФК и 3D ФК (D - от английского dimension) соответственно. Условно структура 2D ФК и 3D ФК показана на рис.

Наиболее яркой чертой фотонных кристаллов является существование в 3D ФК с достаточно большим контрастом показателей преломления компонентов определенных областей спектра, получивших название полных фотонных запрещенных зон (ФЗЗ): существование излучения с энергией фотонов, принадлежащей ФЗЗ в таких кристаллах, невозможно. В частности, излучение, спектр которого принадлежит ФЗЗ, извне в ФК не проникает, существовать в нем не может и полностью отражается от границы. Запрет нарушается только при наличии дефектов структуры или при ограниченных размерах ФК. При этом целенаправленно созданные линейные дефекты являются с малыми изгибными потерями (до микронных радиусов кривизны), точечные дефекты - миниатюрными резонаторами. Практическая реализация потенциальных возможностей 3D ФК, основанных на широких возможностях управления характеристиками световых (фотонных) пучков только начинается. Она затруднена отсутствием эффективных методов создания 3D ФК высокого качества, способов целенаправленного формирования в них локальных неоднородностей, линейных и точечных дефектов, а также методов сопряжения с другими фотонными и электронными устройствами.

Существенно больший прогресс достигнут на пути практического применения 2D ФК, которые используются, как правило, в виде планарных (пленочных) фотонных кристаллов или в виде (ФКВ) (см. подробнее в соответствующих статьях).

ФКВ представляют собой двумерную структуру с дефектом в центральной части, вытянутую в перпендикулярном направлении. Являясь принципиально новым типом оптических волокон, ФКВ предоставляют недоступные другим типам возможности по транспортировке световых волн и управлению световыми сигналами.

Одномерные ФК (1D ФК) представляют собой многослойную структуру из чередующихся слоев с разными показателями преломления. В классической оптике задолго до появления термина «фотонный кристалл» было хорошо известно, что в таких периодических структурах характер распространения световых волн существенно изменяется из-за явлений интерференции и дифракции. Например, многослойные отражающие покрытия давно и широко используются для изготовления зеркал и пленочных интерференционных фильтров, а объемные брэгговские решетки в качестве спектральных селекторов и фильтров. После того, как стал широко употребляться термин ФК, такие слоистые среды, в которых показатель преломления периодически изменяется вдоль одного направления, стали относить к классу одномерных фотонных кристаллов. При перпендикулярном падении света спектральная зависимость коэффициента отражения от многослойных покрытий представляет собой так называемый «брэгговский столик» - на определенных длинах волн коэффициент отражения быстро приближается к единице при увеличении числа слоев. Световые волны, попадающие в спектральный диапазон, показанный на рис. б стрелкой, практически полностью отражаются от периодической структуры. По терминологии ФК эта область длин волн и соответствующая ей область значений энергий фотона (или энергетическая зона) является запрещенной для световых волн, распространяющихся перпендикулярно слоям.

Потенциал практических применений ФК огромен благодаря уникальным возможностям управления фотонами и еще не до конца раскрыт. Нет сомнения, что в ближайшие годы будут предложены новые устройства и конструктивные элементы, возможно принципиально отличающиеся от тех, которые используются или разрабатываются сегодня.

Огромные перспективы применения ФК в фотонике были осознаны после выхода статьи Э. Яблоновича, в которой было предложено использовать ФК с полными ФЗЗ для управления спектром спонтанного излучения.

Среди фотонных устройств, появление которых можно ожидать в ближайшем будущем, следующие:

• низкопороговые ФК лазеры сверхмалых размеров;
• сверхяркие ФК с управляемым спектром излучения;
• сверхминиатюрные ФК волноводы с микронным радиусом изгиба;
• фотонные интегральные схемы с высокой степенью интеграции на основе планарных ФК;
• миниатюрные ФК спектральные фильтры, в том числе перестраиваемые;
• ФК устройства оперативной оптической памяти;
• ФК устройства обработки оптических сигналов;
• средства доставки мощного лазерного излучения на основе ФКВ с полой сердцевиной.

Наиболее заманчивое, но и наиболее трудное в реализации применение трехмерных ФК - создание сверхбольших объемно интегрированных комплексов фотонных и электронных устройств для обработки информации.

Среди других возможных применений трехмерных фотонных кристаллов - изготовление ювелирных украшений на основе искусственных опалов.

Фотонные кристаллы встречаются и в природе, придавая дополнительные оттенки цветовой окраске окружающего нас мира. Так, перламутровое покрытие раковин моллюсков, таких, как галиотисы, имеет структуру 1D ФК, усики морской мыши и щетинки многощетинкового червя представляют собой 2D ФК, а природные полудрагоценные камни опалы и крылья африканских бабочек-парусников (Papilio ulysses) являются природными трехмерными фотонными кристаллами.

Иллюстрации

а – структура двумерного (сверху) и трехмерного (снизу) ФК; б – запрещенная зона одномерного ФК, образованного четвертьволновыми слоями GaAs/AlxOy (величина запрещенной зоны показана стрелкой); в – инвертированный ФК никеля, полученный сотрудниками ФНМ МГУ им. М.В. Ломоносова Н.А. Саполотовой, К.С. Напольским и А.А. Елисеевым

Рис. 2. Схематическое представление одномерного фотонного кристалла.

1. одномерные, в которых коэффициент преломления периодически изменяется в одном пространственном направлении как показано на Рис. 2. На этом рисунке символом Λ обозначен период изменения коэффициента преломления, и - показатели преломления двух материалов (но в общем случае может присутствовать любое число материалов). Такие фотонные кристаллы состоят из параллельных друг другу слоев различных материалов с разными коэффициентами преломления и могут проявлять свои свойства в одном пространственном направлении, перпендикулярном слоям.

Рис. 3. Схематическое представление двумерного фотонного кристалла.

2. двухмерные, в которых коэффициент преломления периодически изменяется в двух пространственных направлениях как показано на Рис. 3. На этом рисунке фотонный кристалл создан прямоугольными областями с коэффициентом преломления , которые находятся в среде с коэффициентом преломления . При этом, области с коэффициентом преломления упорядочены в двумерной кубической решетке . Такие фотонные кристаллы могут проявлять свои свойства в двух пространственных направлениях, и форма областей с коэффициентом преломления не ограничивается прямоугольниками, как на рисунке, а может быть любой (окружности, эллипсы, произвольная и т. д.). Кристаллическая решётка , в которой упорядочены эти области, также может быть другой, а не только кубической, как на приведённом рисунке.

3. трёхмерные, в которых коэффициент преломления периодически изменяется в трёх пространственных направлениях. Такие фотонные кристаллы могут проявлять свои свойства в трёх пространственных направлениях, и можно их представить как массив объёмных областей (сфер, кубов и т. д.), упорядоченных в трёхмерной кристаллической решётке.

Как и электрические среды в зависимости от ширины запрещённых и разрешённых зон, фотонные кристаллы можно разделить на проводники - способные проводить свет на большие расстояния с малыми потерями, диэлектрики - практически идеальные зеркала, полупроводники - вещества способные, например, выборочно отражать фотоны определённой длины волны и сверхпроводники , в которых благодаря коллективным явлениям фотоны способны распространяться практически на неограниченные расстояния.

Также различают резонансные и нерезонансные фотонные кристаллы . Резонансные фотонные кристаллы отличаются от нерезонансных тем, что в них используются материалы, у которых диэлектрическая проницаемость (или коэффициент преломления) как функция частоты имеет полюс на некоторой резонансной частоте.

Любая неоднородность в фотонном кристалле (например, отсутствие одного или нескольких квадратов на Рис. 3, их больший или меньший размер относительно квадратов оригинального фотонного кристалла и т. д.) называются дефектом фотонного кристалла. В таких областях часто сосредотачивается электромагнитное поле , что используется в микрорезонаторах и волноводах , построенных на основе фотонных кристаллов.

Методы теоретического исследования фотонных кристаллов, численные методы и программное обеспечение

Фотонные кристаллы позволяют проводить манипуляции с электромагнитными волнами оптического диапазона, причём характеристические размеры фотонных кристаллов часто близки к величине длины волны. Поэтому к ним не применимы методы лучевой теории, а используется волновая теория и решение уравнений Максвелла . Уравнения Максвелла могут быть решены аналитически и численно, но именно численные методы решения используются для исследования свойств фотонных кристаллов наиболее часто по причине их доступности и лёгкой подстройки под решаемые задачи.

Уместно также упомянуть, что используется два основных подхода к рассмотрению свойств фотонных кристаллов - методы для временной области (которые позволяют получить решение задачи в зависимости от временной переменной), и методы для частотной области (которые предоставляют решение задачи в виде функции от частоты) .

Методы для временной области удобны в отношении динамических задач, которые предусматривают временную зависимость электромагнитного поля от времени. Они также могут быть использованы для расчёта зонных структур фотонных кристаллов, однако практически сложно бывает выявить положение зон в выходных данных таких методов. Кроме того, при расчёте зонных диаграмм фотонных кристаллов используется преобразование Фурье , частотное разрешение которого, зависит от общего времени расчёта метода. То есть для получения большего разрешения в зонной диаграмме нужно потратить больше времени на выполнение расчётов. Есть ещё и другая проблема - временной шаг таких методов должен быть пропорционален размеру пространственной сетки метода. Требование увеличения частотного разрешения зонных диаграмм требует уменьшения временного шага, а следовательно и размера пространственной сетки, увеличения числа итераций, требуемой оперативной памяти компьютера и времени расчёта. Такие методы реализованы в известных коммерческих пакетах моделирования Comsol Multiphysics (используется метод конечных элементов для решения уравнений Максвелла) , RSOFT Fullwave (использует метод конечных разностей) , самостоятельно разработанные исследователями программные коды для методов конечных элементов и разностей и др.

Методы для частотной области удобны прежде всего тем, что решение уравнений Максвелла происходит сразу для стационарной системы и непосредственно из решения определяются частоты оптических мод системы, это позволяет быстрее рассчитывать зонные диаграммы фотонных кристаллов, чем с использованием методов для временной области. К их достоинствам можно отнести число итераций, которое практически не зависит от разрешения пространственной сетки метода и то, что ошибка метода численно спадает экспоненциально с числом проведённых итераций. Недостатками метода являются необходимость расчёта собственных частот оптических мод системы в низкочастотной области для того, чтобы рассчитать частоты в более высокочастотной области, и естественно, невозможность описания динамики развития оптических колебаний в системе. Данные методы реализованы в бесплатном пакете программ MPB и коммерческом пакете . Оба упомянутых программных пакета не могут рассчитывать зонные диаграммы фотонных кристаллов, в которых один или несколько материалов имеют комплексные значения коэффициента преломления. Для исследования таких фотонных кристаллов используется комбинация двух пакетов компании RSOFT - BandSolve и FullWAVE, либо используется метод возмущения

Безусловно, теоретические исследования фотонных кристаллов не ограничиваются только расчётом зонных диаграмм, а также требуют и знаний о стационарных процессах при распространении электромагнитных волн через фотонные кристаллы. Примером может служить задача исследования спектра пропускания фотонных кристаллов. Для таких задач можно использовать оба упомянутых выше подхода исходя из удобства и их доступности, а также методы матрицы переноса излучения , программа для расчёта спекторов пропускания и отражения фотонных кристаллов использующая данный метод , программный пакет pdetool который входит в состав пакета Matlab и упомянутый уже выше пакет Comsol Multiphysics.

Теория фотонных запрещённых зон

Как выше уже отмечалось, фотонные кристаллы позволяют получить разрешённые и запрещённые зоны для энергий фотонов, аналогично полупроводниковым материалам , в которых существуют разрешённые и запрещённые зоны для энергий носителей заряда. В литературном источнике появление запрещённых зон объясняется тем, что при определённых условиях, интенсивности электрического поля стоячих волн фотонного кристалла с частотами близкими к частоте запрещённой зоны, смещаются в разные области фотонного кристалла. Так, интенсивности поля низкочастотных волн концентрируется в областях с большим коэффициентом преломления, а интенсивности поля высокочастотных - в областях с меньшим коэффициентом преломления. В работе встречается другое описание природы запрещённых зон в фотонных кристаллах: «фотонными кристаллами принято называть среды, у которых диэлектрическая проницаемость периодически меняется в пространстве с периодом, допускающим брэгговскую дифракцию света».

Если излучение с частотой запрещённой зоны было сгенерировано внутри такого фотонного кристалла, то оно не может распространяться в нём, если же такое излучение посылается извне, то оно просто отражается от фотонного кристалла. Одномерные фотонные кристаллы, позволяют получить запрещённые зоны и фильтрующие свойства для излучения, распространяющегося в одном направлении, перпендикулярном слоям материалов, показанных на Рис. 2. Двухмерные фотонные кристаллы могут иметь запрещённые зоны для излучения, распространяющегося как в одном, двух направлениях, так и во всех направлениях данного фотонного кристалла, которые лежат в плоскости Рис. 3. Трёхмерные фотонные кристаллы могут иметь запрещённые зоны как в одном, нескольких или всех направлениях. Запрещённые зоны существуют для всех направлений в фотонном кристалле при большой разнице показателей преломления материалов, из которых состоит фотонный кристалл, определённых формах областей с разными показателями преломления и определённой кристаллической симметрии .

Число запрещённых зон, их положение и ширина в спектре зависит как от геометрических параметров фотонного кристалла (размер областей с разным показателем преломления, их форма, кристаллическая решётка, в которой они упорядочены) так и от показателей преломления. Поэтому, запрещённые зоны могут быть перестраиваемыми, например вследствие применения нелинейных материалов с выраженным эффектом Керра , вследствие изменения размеров областей с разным показателем преломления или же вследствие изменения показателей преломления под воздействием внешних полей .

Рис. 5. Зонная диаграмма для энергий фотонов (ТЕ поляризация).

Рис. 6. Зонная диаграмма для энергий фотонов (ТМ поляризация).

Рассмотрим зонные диаграммы фотонного кристалла, показанного на Рис. 4. Этот двумерный фотонный кристалл состоит из двух чередующихся в плоскости материалов - арсенида галлия GaAs (основной материал, показатель преломления n=3,53, области чёрного цвета на рисунке) и воздуха (которым наполнены цилиндрические отверстия, обозначены белым цветом, n=1). Отверстия имеют диаметр и упорядочены в гексагональной кристаллической решётке с периодом (расстоянием между центрами соседних цилиндров) . В рассматриваемом фотонном кристалле отношение радиуса отверстий к периоду равно . Рассмотрим зонные диаграммы для ТЕ (вектор электрического поля направлен параллельно осям цилиндров) и ТМ (вектор магнитного поля направлен параллельно осям цилиндров) показанные на Рис. 5 и 6, которые были рассчитаны для данного фотонного кристалла при помощи бесплатной программы MPB . По оси X отложены волновые векторы в фотонном кристалле, по оси Y отложена нормированная частота, ( - длина волны в вакууме) соответствующая энергетическим состояниям. Синие и красные сплошные кривые на этих рисунках представляют собой энергетические состояния в данном фотонном кристалле для ТЕ и ТМ поляризованных волн соответственно. Голубые и розовые области показывают запрещённые зоны для фотонов в данном фотонном кристалле. Чёрные прерывистые линии - это так называемые световые линии (или световой конус) данного фотонного кристалла . Одна из основных областей применения данных фотонных кристаллов - оптические волноводы, и световая линия определяет область, внутри которой располагаются волноводные моды волноводов, построенных с помощью таких фотонных кристаллов, обладающие малыми потерями. Другими словами, световая линия определяет зону интересующих нас энергетических состояний данного фотонного кристалла. Первое, на что стоит обратить внимание - данный фотонный кристалл имеет две запрещённых зоны для ТЕ-поляризованных волн и три широких запрещённых зоны для ТМ-поляризованных волн. Второе - запрещённые зоны для ТЕ и ТМ-поляризованных волн, лежащие в области малых значений нормированной частоты , перекрываются, а значит, данный фотонный кристалл обладает полной запрещённой зоной в области перекрытия запрещённых зон ТЕ и ТМ волн не только во всех направлениях, но и для волн любой поляризации (ТЕ или ТМ).

Рис. 7. Спектр отражения рассматриваемого фотонного кристалла (ТЕ поляризация).

Рис. 8. Спектр отражения рассматриваемого фотонного кристалла (ТМ поляризация).

Из приведённых зависимостей мы можем определить геометрические параметры фотонного кристалла, первая запрещённая зона которого с значением нормированной частоты , приходится на длину волны нм. Период фотонного кристалла равен нм, радиус отверстий равен нм. Рис. 7 и 8 показывают спектры коэффициента отражения фотонного кристалла с параметрами, определёнными выше для ТЕ и ТМ волн соответственно. Спектры были рассчитаны при помощи программы Translight , при этом предполагалось что данный фотонный кристалл состоит из 8 пар слоёв отверстий и излучение распространяется в направлении Γ-Κ. Из приведённых зависимостей мы можем видеть наиболее известное свойство фотонных кристаллов - электромагнитные волны с собственными частотами, соответствующими запрещённым зонам фотонного кристалла (Рис.5 и 6), характеризуются коэффициентом отражения, близким к единице и подвергаются практически полному отражению от данного фотонного кристалла. Электромагнитные волны с частотами вне запрещённых зон данного фотонного кристалла характеризуются меньшими коэффициентами отражения от фотонного кристалла и полностью или частично проходят через него.

Изготовление фотонных кристаллов

В настоящее время существует множество методов изготовления фотонных кристаллов, и новые методы продолжают появляться. Некоторые методы больше подходят для формирования одномерных фотонных кристаллов, другие удобны в отношении двумерных, третьи применимы чаще к трёхмерным фотонным кристаллам, четвёртые используются при изготовлении фотонных кристаллов на других оптических устройствах и т. д. Рассмотрим наиболее известные из этих методов.

Методы, использующие самопроизвольное формирование фотонных кристаллов

При самопроизвольном формировании фотонных кристаллов используются коллоидальные частицы (чаще всего используются монодисперсные силиконовые или полистереновые частицы, но и другие материалы постепенно становятся доступными для использования по мере разработки технологических методов их получения ), которые находятся в жидкости и по мере испарения жидкости осаждаются в некотором объёме . По мере их осаждения друг на друга, они формируют трёхмерный фотонный кристалл, и упорядочиваются преимущественно в гранецентрированную или гексагональную кристаллические решетки. Этот метод достаточно медленный, формирование фотонного кристалла может занять недели.

Другой метод самопроизвольного формирования фотонных кристаллов, называемый сотовым методом, предусматривает фильтрование жидкости, в которой находятся частицы через маленькие поры. Этот метод представлен в работах , позволяет сформировать фотонный кристалл со скоростью, определённой скоростью течения жидкости через поры, но при высыхании такого кристалла образуются дефекты в кристалле .

Выше уже отмечалось, что в большинстве случаев требуется большой контраст коэффициента преломления в фотонном кристалле для получения запрещённых фотонных зон во всех направлениях. Упомянутые выше методы самопроизвольного формирования фотонного кристалла чаще всего применялись для осаждения сферических коллоидальных частиц силикона, коэффициент преломления которого мал, а значит мал и контраст коэффициента преломления. Для увеличения этого контраста, используется дополнительные технологические шаги, на которых сначала пространство между частицами заполняется материалом с большим коэффициентом преломления, а затем частицы вытравливаются . Пошаговый метод формирования инверсного опала описан в методическом указании по выполнению лабораторной работы .

Методы травления

Голографические методы

Голографические методы создания фотонных кристаллов базируются на применении принципов голографии , для формирования периодического изменения коэффициента преломления в пространственных направлениях. Для этого используется интерференция двух или более когерентных волн, которая создает периодическое распределение интенсивности электрического поля . Интерференция двух волн позволяет создавать одномерные фотонные кристаллы, трёх и более лучей - двухмерные и трёхмерные фотонные кристаллы .

Другие методы создания фотонных кристаллов

Однофотонная фотолитография и двухфотонная фотолитография позволяют создавать трёхмерные фотонные кристаллы с разрешением 200нм и использует свойство некоторых материалов, таких как полимеры , которые чувствительны к одно- и двухфотонному облучению и могут изменять свои свойства под воздействием этого излучения . Литография при помощи пучка электронов является дорогим, но высокоточным методом для изготовления двумерных фотонных кристаллов В этом методе, фоторезист, который меняет свои свойства под действием пучка электронов облучается пучком в определённых местах для формирования пространственной маски. После облучения, часть фоторезиста смывается, а оставшаяся часть используется как маска для травления в последующем технологическом цикле. Максимальное разрешение этого метода - 10нм . Литография при помощи пучка ионов похожа по своему принципу, только вместо пучка электронов используется пучок ионов. Преимущества литографии при помощи пучка ионов над литографией при помощи пучка электронов заключаются в том, что фоторезист более чувствителен к пучкам ионов, чем электронов и отсутствует «эффект близости» («proximity effect»), который ограничивает минимально возможный размер области при литографии при помощи пучка электронов .

Применение

Распределённый брэгговский отражатель является уже широко используемым и известным примером одномерного фотонного кристалла.

С фотонными кристаллами связывают будущее современной электроники . В данный момент идёт интенсивное изучение свойств фотонных кристаллов, разработка теоретических методов их исследования, разработка и исследование различных устройств с фотонными кристаллами, практическая реализация теоретически предсказанных эффектов в фотонных кристаллах, и предполагается, что:

Исследовательские группы в мире

Исследования фотонных кристаллов проводятся в множестве лабораторий институтов и компаний, занимающихся электроникой. Например:

• Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
• Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
• Институт радиотехники и электроники РАН
• Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара
• Сумской Государственный университет

Источники

1. стр. VI в книге Photonic Crystals, H. Benisty, V. Berger, J.-M. Gerard, D. Maystre, A. Tchelnokov, Springer 2005.
2. Е. Л. Ивченко, А. Н. Поддубный, "Резонансные трёхмерные фотонные кристаллы, "Физика твёрдого тела, 2006, том 48, вып. 3, стр. 540-547.
3. В. А. Кособукин, "Фотонные кристаллы, «Окно в Микромир», No. 4, 2002.
4. Photonic Crystals: Periodic Surprises in Electromagnetism
5. CNews, Фотонные кристаллы первыми изобрели бабочки.
6. S. Kinoshita, S. Yoshioka and K. Kawagoe "Mechanisms of structural colour in the Morpho butterfly: cooperation of regularity and irregularity in an iridescent scale, " Proc. R. Soc. Lond. B, Vol. 269, 2002, pp. 1417-1421.
7. http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/MPB_Introduction Steven Johnson, MPB manual.
8. Пакет программ для решения физических задач.
9. http://www.rsoftdesign.com/products/component_design/FullWAVE/ Пакет программ для решения электродинамических задач RSOFT Fullwave.
10. Программный пакет для расчёта зонных диаграмм фотонных кристаллов MIT Photonic Bands.
11. Пакет программ для расчёта зонных диаграмм фотонных кристаллов RSOFT BandSolve.
12. A. Reisinger, "Characteristics of optical guided modes in lossy waveguides, " Appl. Opt., Vol. 12, 1073, p. 1015.
13. M.H. Eghlidi, K. Mehrany, and B. Rashidian, "Improved differential-transfer-matrix method for inhomogeneous one-dimensional photonic crystals, " J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 23, No. 7, 2006, pp. 1451-1459.
14. Программа Translight, разработчики: Andrew L. Reynolds, the Photonic Band Gap Materials Research Group within the Optoelectronics Research Group of the Department of Electronics and Electrical Engineering, the University of Glasgow and the initial program originators from Imperial College, London, Professor J.B. Pendry, Professor P.M. Bell, Dr. A.J. Ward and Dr. L. Martin Moreno.
15. Матлаб - язык технических расчётов.
16. стр. 40, J.D. Joannopoulos, R.D. Meade, and J.N. Winn, Photonic Crystals: Molding the Flow of Light, Princeton Univ. Press, 1995.
17. стр. 241, P.N. Prasad, Nanophotonics, John Wiley and Sons, 2004.
18. стр. 246, P.N. Prasad, Nanophotonics, John Wiley and Sons, 2004.
19. D. Vujic and S. John, "Pulse reshaping in photonic crystal waveguides and microcavities with Kerr nonlinearity: Critical issues for all-optical switching, " Physical Review A, Vol. 72, 2005, p. 013807.
20. http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/fulltext/114286507/PDFSTART J. Ge, Y. Hu, and Y. Yin, "Highly Tunable Superparamagnetic Colloidal Photonic Crystals, " Angewandte Chemie International Edition, Vol. 46, No. 39, pp. 7428-7431.
21. A. Figotin, Y.A. Godin, and I. Vitebsky, "Two-dimensional tunable photonic crystals, " Physical Review B, Vol. 57, 1998, p. 2841.
22. MIT Photonic-Bands package, developed by Steven G. Johnson at MIT along with the Joannopoulos Ab Initio Physics group.
23. http://www.elettra.trieste.it/experiments/beamlines/lilit/htdocs/people/luca/tesihtml/node14.html Fabrication and Characterization of Photonic Band Gap Materials.
24. P. Lalanne, «Electromagnetic Analysis of Photonic Crystal Waveguides Operating Above the Light Cone, IEEE J. of Quentum Electronics, Vol. 38, No. 7, 2002, pp. 800-804.»
25. A. Pucci, M. Bernabo, P. Elvati, L.I. Meza, F. Galembeck, C.A. de P. Leite, N. Tirelli, and G. Ruggeriab, "Photoinduced formation of gold nanoparticles into vinyl alcohol based polymers, " J. Mater. Chem., Vol. 16, 2006, pp. 1058-1066.
26. A. Reinholdt, R. Detemple, A.L. Stepanov, T.E. Weirich, and U. Kreibig, "Novel nanoparticle matter: ZrN-nanoparticles, " Applied Physics B: Lasers and Optics, Vol. 77, 2003, pp. 681-686.
27. L. Maedler, W.J. Stark, and S.E. Pratsinisa, «Simultaneous deposition of Au nanoparticles during flame synthesis of TiO2 and SiO2,» J. Mater. Res., Vol. 18, No. 1, 2003, pp. 115-120.
28. K.K. Akurati, R. Dittmann, A. Vital, U. Klotz, P. Hug, T. Graule, and M. Winterer, "Silica-based composite and mixed-oxide nanoparticles from atmospheric pressure flame synthesis, " Journal of Nanoparticle Research, Vol. 8, 2006, pp. 379-393.
29. стр. 252, P.N. Prasad, Nanophotonics, John Wiley and Sons, 2004
30. A.-P. Hynninen, J.H.J. Thijssen, E.C.M. Vermolen, M. Dijkstra, and A. van Blaaderen, "Self-assembly route for photonic crystals with a bandgap in the visible region, " Nature Materials 6, 2007, pp. 202-205.
31. X. Ma, W. Shi, Z. Yan, and B. Shen, "Fabrication of silica/zinc oxide core-shell colloidal photonic crystals, " Applied Physics B: Lasers and Optics, Vol. 88, 2007, pp. 245-248.
32. S.H. Park and Y. Xia, "Assembly of Mesoscale Particles over Large Areas and Its Application in Fabricating Tunable Optical Filters, " Langmuir, Vol. 23, 1999, pp. 266-273.
33. S.H. Park, B. Gates, Y. Xia, "A Three-Dimensional Photonic Crystal Operating in the Visible Region, " Advanced Materials, 1999, Vol. 11, pp. 466-469.
34. стр. 252, P.N. Prasad, Nanophotonics, John Wiley and Sons, 2004.
35. Y.A. Vlasov, X.-Z. Bo, J.C. Sturm, and D.J. Norris, "On-chip natural assembly of silicon photonic bandgap crystals, " Nature, Vol. 414, No. 6861, p. 289.
36. стр. 254, P.N. Prasad, Nanophotonics, John Wiley and Sons, 2004.
37. M. Cai, R. Zong, B. Li, and J. Zhou, "Synthesis of inverse opal polymer films, " Journal of Materials Science Letters, Vol. 22, No. 18, 2003, pp. 1295-1297.
38. R. Schroden, N. Balakrishan, «Inverse opal photonic crystals. A laboratory guide», University of Minnesota.
39. Virtual cleanroom, Georgia Institute of Technology.
40. P. Yao, G.J. Schneider, D.W. Prather, E. D. Wetzel, and D.J. O’Brien, "Fabrication of three-dimensional photonic crystals with multilayer photolithography, " Optics Express, Vol. 13, No. 7, 2005, pp. 2370-2376.

2014 г.

Фотонные кристаллы

Фотонные кристаллы (ФК) представляют собой структуры, характеризующиеся периодическим изменением диэлектрической проницаемости в пространстве. Оптические свойства ФК сильно отличаются от оптических свойств сплошных сред. Распространение излучения внутри фотонного кристалла благодаря периодичности среды становится похожим на движение электрона внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала. В результате электромагнитные волны в фотонных кристаллах имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычных кристаллах. При определенных условиях в зонной структуре ФК образуются щели, аналогично запрещенным электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от конкретных свойств (материала элементов, их размера и периода решетки) в спектре ФК могут образовываться как полностью запрещенные по частоте зоны, для которых распространение излучения невозможно независимо от его поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп–зоны), в которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях.

Фотонные кристаллы интересны как с фундаментальной точки зрения, так и для многочисленных приложений. На основе фотонных кристаллов создаются и разрабатываются оптические фильтры, волноводы (в частности, в волоконно-оптических линиях связи), устройства, позволяющие осуществлять управление тепловым излучением, на основе фотонных кристаллов были предложены конструкции лазеров с пониженным порогом накачки.

Помимо изменения спектров отражения, прохождения и поглощения металло-диэлектрические фотонные кристаллы обладают специфической плотностью фотонных состояний. Измененная плотность состояний может существенным образом влиять на время жизни возбужденного состояния атома или молекулы, помещенных внутрь фотонного кристалла, и, следовательно, менять характер люминесценции. Например, если частота перехода в молекуле-индикаторе, находящейся в фотонном кристалле, попадет в запрещенную зону, то люминесценция на этой частоте будет подавлена.

ФК делятся на три типа: одномерные, двумерные и трехмерные.

Одно-, двух- и трехмерные фотонные кристаллы. Разные цвета соответствуют материалам с разными значениями диэлектрической проницаемости.

Одномерными являются ФК с чередующимися слоями, сделанными из разных материалов.

Электронный снимок одномерного ФК, используемого в лазере как брэгговское многослойное зеркало.

Двумерные ФК могут иметь более разнообразные геометрии. К ним, например, можно отнести массивы бесконечных по длине цилиндров (их поперечный размер много меньше продольного) или периодические системы цилиндрических отверстий.

Электронные снимки, двумерного прямого и обратного ФК с треугольной решеткой.

Структуры трехмерных ФК весьма разнообразны. Наиболее распространенными в этой категории являются искусственные опалы - упорядоченные системы сферических рассеивателей. Различают два основных типа опалов: прямые и обратные (inverse) опалы. Переход от прямого опала к обратному опалу осуществляется заменой всех сферических элементов полостями (как правило, воздушными), в то время как пространство между этими полостями заполняется каким–либо материалом.

Ниже представлена поверхность ФК, представляющего собой прямой опал с кубической решеткой на основе самоорганизованных сферических микрочастиц полистирола.

Внутренняя поверхность ФК с кубической решеткой на основе самоорганизованных сферических микрочастиц полистирола.

Следующая структура представляет собой инверсный опал, синтезированный в результате многостадийного химического процесса: самосборки полимерных сферических частиц, пропитки пустот полученного материала веществом и удалением полимерной матрицы путем химического травления.

Поверхность кварцевого инверсного опала. Фотография получена с помощью сканирующей электронной микроскопии.

Еще одним типом трехмерных ФК являются структуры типа «поленница» (logpiles), образованные скрещенными, как правило, под прямым углом прямоугольными параллелепипедами.

Электронная фотография ФК из металлических параллелепипедов.

Я не могу претендовать на то, чтобы беспристрастно судить о цветах. Я радуюсь сверкающим оттенкам и искренне сожалею о скудных коричневых цветах. (Сэр Уинстон Черчилль ).

Происхождение фотонных кристаллов

Смотря на крылья бабочки или перламутровое покрытие раковин (Рисунок 1), удивляешься тому, как Природа - пусть даже за многие сотни тысяч или миллионы лет - смогла создать столь удивительные биоструктуры. Однако не только в биомире существуют подобные структуры с переливчатой окраской, являющиеся примером практически безграничных созидательных возможностей Природы. Например, полудрагоценный камень опал очаровывал людей с самых древних времён своим блеском (Рисунок 2).

Сегодня каждый девятиклассник знает, что не только процессы поглощения и отражения света приводят к тому, что мы называем цветовой окраской мира, но также процессы дифракции и интерференции. Дифракционные решётки, которые мы можем встретить в природе, представляют собой структуры с периодически изменяющейся диэлектрической проницаемостью, при этом их период соизмерим с длинной волны света (Рисунок 3). Это могут быть 1Dрешётки, как в перламутровом покрытии раковин моллюсков таких, как галиотисы, 2D решётки, подобные усикам морской мыши, многощетинкового червя, и 3D решётки, которые придают радужную голубую окраску бабочкам из Перу, равно как и опалу.

В данном случае Природа, как, несомненно, самый опытный химик-материаловед, подталкивает нас к следующему выходу: трёхмерные оптические дифракционные решётки могут быть синтезированы путём создания диэлектрических решёток, которые геометрически комплементарны друг другу, т.е. одна является инверсионной по отношению к другой. А с тех пор как Жан-Мари Лен произнёс известную фразу: «Если что-то существует, то это может быть синтезировано», - мы просто обязаны реализовать данный вывод на практике.

Фотонные полупроводники и фотонная запрещённая зона

Итак, в простой формулировке фотонным кристаллом называется материал, структура которого характеризуется периодическим изменением показателя преломления в пространственных направлениях , что приводит к образованию фотонной запрещённой зоны. Обычно, чтобы понять смысл терминов «фотонный кристалл» и «фотонная запрещённая зона», такой материал рассматривают в качестве оптической аналогии полупроводникам. Решение уравнений Максвелла для распространения света в диэлектрической решётке показывает, что из-за Брегговской дифракции распределение фотонов по частотам ω(k) в зависимости от волнового вектора k (2π/λ) будет иметь области разрыва. Данное утверждение графически представлено на Рисунке 4, где приведена аналогия между распространением электрона в 1D кристаллической решётке и фотоном в 1D фотонной решётке. Непрерывная плотность состояний, как свободного электрона, так и фотона в вакууме, претерпевают разрыв внутри, соответственно, кристаллической и фотонной решёток в так называемых «стоп-зонах» при значении волнового вектора k (т.е. импульса), который соответствует стоячей волне. Это и является условием Брэгговской дифракции электрона и фотона.

Фотонная запрещенная зона представляет собой диапазон частот ω(k) в обратном пространстве волновых векторов k, где распространение света определённой частоты (или длины волны) запрещено в фотонном кристалле во всех направлениях, при этом падающий на фотонный кристалл свет полностью отражается от него. Если же свет «возникнет» внутри фотонного кристалла, то он окажется «вмороженным» в него. Сама зона может быть неполной, так называемой стоп-зоной. На рисунке 5 представлены 1D, 2D и 3D фотонные кристаллы в реальном пространстве и плотность состояний фотонов в обратном пространстве.

Фотонная запрещённая зона трёхмерного фотонного кристалла является некоторой аналогией электронной запрещённой зоны в кристалле кремния. Следовательно, фотонная запрещённая зона «управляет» потоком света в кремниевом фотонном кристалле аналогично тому, как происходит транспорт носителей заряда в кристалле кремния. В этих двух случаях образование запрещённой зоны обуславливается стоячими волнами фотонов или электронов, соответственно.

Сделай фотонный кристалл сам

Как ни странно, но Максвелловские уравнения для фотонных кристаллов не чувствительны к масштабированию, в отличие от уравнения Шрёдингера в случае электронных кристаллов. Это возникает вследствие того, что длина волны электрона в «нормальном» кристалле более-менее зафиксирована на уровне в несколько ангстрем, тогда как размерная шкала длины волны света в фотонных кристаллах может быть варьироваться от ультрафиолета до микроволнового излучения, исключительно за счёт изменения размерности компонент фотонной решётки. Это приводит к поистине неисчерпаемым возможностям для тонкой настройки свойств фотонного кристалла.

В настоящее время существует множество методов изготовления фотонных кристаллов Некоторые из них больше подходят для формирования одномерных фотонных кристаллов, другие удобны в отношении двумерных, третьи применимы чаще к трёхмерным фотонным кристаллам, четвёртые используются при изготовлении фотонных кристаллов на других оптических устройствах и т. д. Однако не всё ограничивается только варьированием размерности структурных элементов. Фотонные кристаллы можно также создавать за счёт оптической нелинейности, перехода метал-неметалл, жидкокристаллического состояния, ферроэлектрического двойного лучепреломления, набухания и сжатия полимерных гелей и так далее, главное, чтобы изменился показатель преломления.

Куда же без дефектов?!

В мире практически не существует материалов, в которых не было бы дефектов, и это хорошо. Именно дефекты в твердофазных материалах в бо льшей степени, чем сама кристаллическая структура, влияют на различные свойства материалов и, в конечном счёте, их функциональные характеристики, а также возможные области применения. Аналогичное утверждение верно и в случае фотонных кристаллов. Из теоретического рассмотрения следует, что введение дефектов (точечных, протяженных - дислокаций - или изгиба) на микроуровне в идеальную фотонную решётку, позволяет создать внутри фотонной запрещённой зоны определённые состояния, на которых может быть локализован свет, а распространение света может быть ограничено или наоборот усилено вдоль и вокруг очень маленького волновода (Рисунок 6). Если проводить аналогию с полупроводниками, то эти состояния напоминают примесные уровни в полупроводниках. Фотонные кристаллы с такой «управляемой дефектностью» могут применяться при создании полностью оптических устройств и схем нового поколения оптических телекоммуникационных технологий.

Светоинформатика

На рисунке 7 представлено одно из футуристических изображений полностью светового чипа будущего, что, несомненно, уже целое десятилетие будоражит воображение химиков, физиков и материаловедов. Полностью оптический чип состоит из интегрированных микроразмерных фотонных кристаллов с 1D, 2D и 3D периодичностью, которые могут играть роль переключателей, фильтров, низкопороговых лазеров и т.д., тогда как свет передаётся между ними по волноводам исключительно за счёт дефектности структуры. И хотя тема фотонных кристаллов существует в «дорожных картах» развития фотонных технологий, исследования и практическое применение этих материалов всё ещё остаются на самых ранних стадиях своего развития. Это тема будущих открытий, которые могут привести к созданию полностью световых сверхбыстрых компьютеров, а также квантовых компьютеров. Однако для того, чтобы мечты фантастов и многих учёных, посвятивших свою жизнь изучению столь интересных и практически значимых материалов, как фотонные кристаллы, стали явью требуется ответить на ряд вопросов. Например, таких как: что необходимо изменить в самих материалах, чтобы решить проблему, связанную с уменьшением таких интегрированных чипов из микроразмерных фотонных кристаллов для широкого применения на практике? Возможно ли с помощью микроконструирования («сверху-вниз»), или самосброки («снизу-вверх»), или же какого-либо сплава этих двух методов (например, направленной самосборки) реализовать в промышленных масштабах производство чипов из микроразмерных фотонных кристаллов? Является ли наука о компьютерах на основе световых чипов из микрофотонных кристаллов реальностью или всё же это вымысел футуристов?

Фотонные кристаллы (ФК) представляют собой структуры, характеризующиеся периодическим изменением диэлектрической проницаемости в пространстве. Оптические свойства ФК сильно отличаются от оптических свойств сплошных сред. Распространение излучения внутри фотонного кристалла благодаря периодичности среды становится похожим на движение электрона внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала. В результате электромагнитные волны в фотонных кристаллах имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычных кристаллах. При определенных условиях в зонной структуре ФК образуются щели, аналогично запрещенным электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от конкретных свойств (материала элементов, их размера и периода решетки) в спектре ФК могут образовываться как полностью запрещенные по частоте зоны, для которых распространение излучения невозможно независимо от его поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп–зоны), в которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях.

Фотонные кристаллы интересны как с фундаментальной точки зрения, так и для многочисленных приложений. На основе фотонных кристаллов создаются и разрабатываются оптические фильтры, волноводы (в частности, в волоконно-оптических линиях связи), устройства, позволяющие осуществлять управление тепловым излучением, на основе фотонных кристаллов были предложены конструкции лазеров с пониженным порогом накачки.

Помимо изменения спектров отражения, прохождения и поглощения металло-диэлектрические фотонные кристаллы обладают специфической плотностью фотонных состояний. Измененная плотность состояний может существенным образом влиять на время жизни возбужденного состояния атома или молекулы, помещенных внутрь фотонного кристалла, и, следовательно, менять характер люминесценции. Например, если частота перехода в молекуле-индикаторе, находящейся в фотонном кристалле, попадет в запрещенную зону, то люминесценция на этой частоте будет подавлена.

ФК делятся на три типа: одномерные, двумерные и трехмерные.

Одно-, двух- и трехмерные фотонные кристаллы. Разные цвета соответствуют материалам с разными значениями диэлектрической проницаемости.

Одномерными являются ФК с чередующимися слоями, сделанными из разных материалов.

Электронный снимок одномерного ФК, используемого в лазере как брэгговское многослойное зеркало.

Двумерные ФК могут иметь более разнообразные геометрии. К ним, например, можно отнести массивы бесконечных по длине цилиндров (их поперечный размер много меньше продольного) или периодические системы цилиндрических отверстий.

Электронные снимки, двумерного прямого и обратного ФК с треугольной решеткой.

Структуры трехмерных ФК весьма разнообразны. Наиболее распространенными в этой категории являются искусственные опалы - упорядоченные системы сферических рассеивателей. Различают два основных типа опалов: прямые и обратные (inverse) опалы. Переход от прямого опала к обратному опалу осуществляется заменой всех сферических элементов полостями (как правило, воздушными), в то время как пространство между этими полостями заполняется каким–либо материалом.

Ниже представлена поверхность ФК, представляющего собой прямой опал с кубической решеткой на основе самоорганизованных сферических микрочастиц полистирола.

Внутренняя поверхность ФК с кубической решеткой на основе самоорганизованных сферических микрочастиц полистирола.

Следующая структура представляет собой инверсный опал, синтезированный в результате многостадийного химического процесса: самосборки полимерных сферических частиц, пропитки пустот полученного материала веществом и удалением полимерной матрицы путем химического травления.

Поверхность кварцевого инверсного опала. Фотография получена с помощью сканирующей электронной микроскопии.

Еще одним типом трехмерных ФК являются структуры типа «поленница» (logpiles), образованные скрещенными, как правило, под прямым углом прямоугольными параллелепипедами.

Электронная фотография ФК из металлических параллелепипедов.

Методы производства

Применение ФК на практике существенно ограничивается отсутствием универсальных и простых методов их изготовления. В наше время реализовано несколько подходов к созданию ФК. Ниже описаны два основных подхода.

Первым из них является так называемый метод самоорганизации или самосборки. При самосборке фотонного кристалла используются коллоидные частицы (самыми распространенными являются монодисперсные кремниевые или полистироловые частицы), которые находятся в жидкости и по мере испарения жидкости осаждаются в объеме. По мере их “осаждения” друг на друга, они формируют трехмерный ФК и упорядочиваются, в зависимости от условий, в кубическую гранецентрированную или гексагональную кристаллическую решетку. Этот метод достаточно медленный, формирование ФК может занять несколько недель. Также к его недостаткам можно отнести плохо контролируемый процент появления дефектов в процессе осаждения.

Одной из разновидностей метода самосборки является так называемый сотовый метод. Этот метод предусматривает фильтрование жидкости, в которой находятся частицы, через малые поры, и позволяет формировать ФК со скоростью, определяемой скоростью течения жидкости через эти поры. По сравнению с обычным методом осаждения указанный способ является гораздо более быстрым, однако и процент появления дефектов при его использовании является более высоким.

К достоинствам описанных методов можно отнести тот факт, что они позволяют формировать образцы ФК больших размеров (площадью до нескольких квадратных сантиметров).

Вторым наиболее популярным методом изготовления ФК является метод травления. Различные методы травления, как правило, применяются для изготовления двумерных ФК. Эти методы основаны на применении маски из фоторезиста (которая задает, например, массив полусфер), сформированной на поверхности диэлектрика или металла и задающей геометрию области травления. Эта маска может быть получена с помощью стандартного метода фотолитографии, за которым непосредственно следует химическое травление поверхности образца с фоторезистом. При этом, соответственно, в областях нахождения фоторезиста, происходит травление поверхности фоторезиста, а в областях без фоторезиста - травление диэлектрика или металла. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная глубина травления, после чего фоторезист смывается.

Недостатком указанного метода является использование процесса фотолитографии, наилучшее пространственное разрешение которой определяется критерием Рэлея. Поэтому этот метод подходит для создания ФК с запрещенной зоной, лежащей, как правило, в ближней инфракрасной области спектра. Чаще всего, для достижения нужного разрешения используется комбинация метода фотолитографии с литографией при помощи электронного пучка. Данный метод является дорогим, но высокоточным методом для изготовления квазидвумерных ФК. В этом методе фоторезист, который меняет свои свойства под действием пучка электронов, облучается в определенных местах для формирования пространственной маски. После облучения часть фоторезиста смывается, а оставшаяся часть используется как маска для травления в последующем технологическом цикле. Максимальное разрешение этого метода составляет порядка 10 нм.

Параллели между электродинамикой и квантовой механикой

Любое решение уравнений Максвелла , в случае линейных сред и при отсутствии свободных зарядов и источников тока может быть представлено в виде суперпозиции гармонических во времени функций с комплексными амплитудами , зависящими от частоты: , где есть либо , либо .

Поскольку поля являются вещественными, то , и можно записать в виде суперпозиции гармонических во времени функций с положительной частотой: ,

Рассмотрение гармонических функций позволяет перейти к частотной форме уравнений Максвелла, не содержащей производных по времени: ,

где временная зависимость участвующих в этих уравнениях полей представляется в виде , . Мы предполагаем, что среды изотропны, и магнитная проницаемость .

Явно выразив поле , взяв ротор от обеих частей уравнений, и подставив второй уравнение в первое, получаем:

где – скорость света в пустоте.

Иначе говоря, мы получили задачу на собственные значения:

для оператора

где зависимость определяется рассматриваемой структурой.

Собственные функции (моды) полученного оператора должны удовлетворять условию

Находится как

При этом условие соблюдается автоматически, поскольку дивергенция ротора всегда нулю.

Оператор линеен, из чего следует, что любая линейная комбинация решений задачи на собственные значения с той же самой частотой будет также решением. Можно показать, что в случае этот оператор эрмитов, т. е. для любых векторных функций

где скалярное произведение определяется как

Из эрмитовости оператора следует вещественность его собственных значений . Также можно показать, что при 0" align="absmiddle">, собственные значения неотрицательны, а следовательно, частоты - вещественны.

Скалярное произведение собственных функций, соответствующих разным частотам , всегда равно нулю. В случае равенства частот это не обязательно так, однако всегда можно работать только с ортогональными друг другу линейными комбинациями таких собственных функций. Более того, всегда можно составить базис из собственных ортогональных друг другу функций эрмитова оператора .

Если, наоборот, выразить поле через , получается обобщенная задача на собственные значения:

в которой операторы присутствуют уже в обеих сторонах уравнения (при этом после деления на оператор в левой части уравнения становится неэрмитовым). В некоторых случаях данная формулировка оказывается удобнее.

Отметим, что при замене в уравнении на собственные значения новому решению будет соответствовать частота . Этот факт называется масштабируемостью и имеет большую практическую значимость. Производство фотонных кристаллов с характерными размерами порядка микрона технически сложно. Однако в целях тестирования можно изготовить модель фотонного кристалла с периодом и размером элементов порядка сантиметра, который бы работал в сантиметровом режиме (при этом нужно использовать материалы, которые бы в сантиметровом диапазоне частот обладали примерно такой же диэлектрической проницаемостью, что и моделируемые материалы).

Проведем аналогию описанной выше теории с квантовой механикой. В квантовой механике рассматривается скалярная волновая функция , принимающая комплексные значения. В электродинамике - векторная, причем комплексная зависимость вводится лишь для удобства. Следствием этого факта, в частности, является то, что зонные структуры для фотонов в фотонном кристалле будут разными для волн с различной поляризацией в отличие от зонных структур для электронов.

Как в квантовой механике, так и в электродинамике решается задача на собственные значения эрмитового оператора. В квантовой механике эрмитовы операторы соответствуют наблюдаемым величинам.

И наконец, в квантовой механике, если оператор представим в виде суммы , решение уравнения на собственные значения можно записать как , то есть задача распадается на три одномерные. В электродинамике это невозможно, поскольку оператор «связывает» все три координаты, даже если в они разделяются. По этой причине в электродинамике аналитические решения имеются лишь у весьма ограниченного числа задач. В частности, точные аналитические решения для зонного спектра ФК находятся в основном для одномерных ФК. Именно поэтому важную роль играет численное моделирование для расчета свойств фотонных кристаллов.

Зонная структура

Фотонный кристалл характеризуется периодичностью функции :

Проивольный вектор трансляции, представимый в виде

где – примитивные вектора трансляции, а – целые числа.

По теореме Блоха, собственные функции оператора могут быть выбраны таким образом, чтобы они имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и ФК:

где - периодичная функция . При этом значения можно подбирать таким образом, чтобы они принадлежали первой зоне Бриллюэна.

Подставляя это выражение в сформулированную задачу на собственные значения получаем уравнение на собственные значения

Собственные функции должны быть периодичны и удовлетворять условию .

Можно показать, что каждому значению вектора соответствует бесконечный набор мод с дискретным набором частот , которые мы будем нумеровать в порядке возрастания индексом . Поскольку оператор непрерывно зависит от , частота при фиксированном индексе от также зависит непрерывно. Совокупность непрерывных функций составляют зонную структуру ФК. Изучение зонной структуры ФК позволяет получить информацию о его оптических свойствах. Наличие какой-либо дополнительной симметрии в ФК позволяет ограничиться некоторой подобластью зоны Бриллюэна, называемой неприводимой. Решения для , принадлежащей этой неприводимой зоне, воспроизводят решения для всей зоны Бриллюэна.

Слева: двумерный фотонный кристалл, состоящий из цилиндров, упакованных в квадратную решетку. Справа: первая зона Бриллюэна, соответствующая квадратной решетке. Голубой треугольник соответствует неприводимой зоне Бриллюэна. Г , М и Х - точки высокой симметрии для квадратной решетки.

Интервалы частот, которым не соответствуют какие-либо моды ни для какого действительного значения волнового вектора, называются запрещенными зонами. Ширина таких зон увеличивается при увеличении контраста диэлектрической проницаемости в ФК (отношение диэлектрических проницаемостей составных элементов фотонного кристалла). Если излучение с частотой, лежащей внутри запрещённой зоны, генерируется внутри такого фотонного кристалла, оно не может распространяться в нём (ему соответствует комплексное значение волнового вектора). Амплитуда такой волны будет экспоненциально затухать внутри кристалла (эванесцентная волна). На этом основано одно из свойств фотонного кристалла: возможность управления спонтанным излучением (в частности, его подавлением). Если же такое излучение падает на ФК извне, то оно полностью отражается от фотонного кристалла. На этом эффекте основано применение ФК для светоотражающих фильтров, а также резонаторов и волноводов с хорошо отражающими стенками.

Как правило, низкочастотные моды концентрируются преимущественно в слоях с большим показателем диэлектрической проницаемости, в то время как высокочастотные по большей части – в слоях с меньшей диэлектрической проницаемостью. Поэтому часто первую зону называют диэлектрической, а следующую за ней - воздушной.

Зонная структура одномерного ФК, соответствующая распространению волны перпендикулярно слоям. Во всех трех случаях каждый слой имеет толщину 0.5a , где a - период ФК. Слева: каждый слой имеет одинаковую диэлектрическую проницаемость ε = 13. По центру: диэлектрическая проницаемость чередующихся слоев имеет значения ε = 12 и ε = 13. Справа: ε = 1 и ε = 13.

В случае ФК с размерностью меньше трех не существует полных запрещенных зон для всех направлений, что является следствием наличия одного или двух направлений, вдоль которых ФК однороден. Интуитивно это можно объяснить тем, что вдоль этих направлений волна не испытывает многократного отражения, требуемого для формирования запрещенных зон.

Несмотря на это, возможно создание одномерных ФК, которые бы отражали волны, падающие на ФК под любыми углами.

Зонная структура одномерного ФК с периодом a , у которого толщины чередующихся слоев равны 0.2a и 0.8a , а их диэлектрические проницаемости - ε = 13 и ε = 1 соответственно. Левая часть рисунка соответствует направлению распространения волны перпендикулярно слоям (0, 0, k z), а правая - направлению вдоль слоев (0, k y , 0). Запрещенная зона существует только для направления перпендикулярно слоям. Отметим, что при k y > 0 снимается вырождение для двух различных поляризаций.

Ниже представлена зонная структура ФК, имеющего геометрию опала. Видно, что этот ФК обладает полной запрещенной зоной на длине волны порядка 1.5 мкм и одной стоп-зоной, с максимумом отражения на длине волны 2.5 мкм. Изменяя время травления кремниевой матрицы на одном из этапов изготовления инверсного опала и тем самым, варьируя диаметр сфер, можно добиться локализации запрещенной зоны в определенном диапазоне длин волн. Авторы отмечают, что структура с подобными характеристиками может быть использована в телекоммуникационных технологиях. Излучение на частоте запрещенной зоны может локализоваться внутри объема ФК, а при предоставлении необходимого канала распространяться фактически без потерь. Такой канал может быть сформирован, например, путем удаления элементов фотонного кристалла вдоль некоторой линии. При изгибании канала электромагнитная волна также будет менять направление движения, повторяя форму канала. Таким образом, такой ФК предполагается использовать в качестве передаточного узла между излучающим устройством и оптическим микрочипом, осуществляющим обработку сигнала.

Сравнение спектра отражения в направлении ГL, измеренного экспериментально, и зонной структуры, расчитанной методом разложения по плоским волнам, для инверсного кремниевого (Si) опала с кубической гранецентрированной решеткой (на вкладке изображена первая зона Бриллюэна). Объемная доля кремния 22%. Период решетки 1.23 мкм

В случае одномерных ФК для формирования запрещенной зоны достаточно даже самого малого контраста диэлектрической проницаемости. Казалось бы, для трехмерных диэлектрических ФК можно сделать аналогичный вывод: предположить наличие полной запрещенной зоны при сколь бы то ни было малом контрасте диэлектрической проницаемости в случае, если на границе зоны Бриллюэна вектор имеет одинаковые модули по всем направлениям (что отвечает сферической зоне Бриллюэна). Однако в природе не существует трехмерных кристаллов со сферической зоной Бриллюэна. Как правило, она имеет довольно сложную полигональную форму. Таким образом, получается, что запрещенные зоны по разным направлениям существуют при разных частотах. Только в случае, если диэлектрический контраст является достаточно большим, то стоп-зоны по разным направлениям могут перекрываться и образовывать полную запрещенную зону по всем направлениям. Наиболее близкой к сферической (и таким образом, наиболее независимой от направления блоховского вектора ) является первая зона Бриллюэна гранецентрированной кубической (ГЦК) и алмазной решеток, делая трехмерные ФК с такой структурой наиболее подходящими для формирования полной запрещенной зоны в спектре. При этом, для возникновения полных запрещенных зон в спектрах таких ФК требуется большой контраст диэлектрической проницаемости . Если обозначить относительную ширину щели как , то для достижения значений 5\%" align="absmiddle"> необходим контраст для алмазной и для ГЦК решеток, соответственно. Для использования запрещенных зон в спектрах ФК в различных приложениях необходимо иметь возможность сделать запрещенную зону достаточно широкой, имея ввиду, что все ФК, полученные в экспериментах, неидеальны, а дефекты в структуре могут существенно уменьшить ширину запрещенной зоны.

Первая зона Бриллюэна кубической гранецентрированной решетки и точки высокой симметрии.

В заключение еще раз отметим сходство оптических свойств ФК со свойствами электронов в квантовой механикой при рассмотрении зонной структуры твердого тела. Однако при этом между фотонами и электронами имеется существенное различие: электроны обладают сильным взаимодействием между собой. Поэтому «электронные» задачи, как правило, требуют учета многоэлектронных эффектов, сильно увеличивающих размерность задачи, что заставляет часто использовать недостаточно точные приближения, в то время как в ФК, состоящем из элементов с пренебрежимо малым нелинейно-оптическим откликом, данная трудность отсутствует.

Перспективным направлением современной оптики является управление излучением с помощью фотонных кристаллов. В частности, в Лаборатории Сандии исследовались ФК типа «поленницы» (log-piles) с целью достижения высокой селективности излучения металлических фотонных кристаллов в ближнем инфракрасном диапазоне, одновременно с сильным подавлением излучения в среднем ИК диапазоне (<20мкм). В этих работах было показано, что для таких ФК излучение в среднем ИК диапазоне сильно подавлено из-за наличия в спектре ФК полной фотонной щели. Однако качество полной фотонной щели падает с ростом температуры из-за увеличения поглощения в вольфраме, что приводит к низкой селективности излучения при высоких температурах.

Согласно закону Кирхгофа для излучения в тепловом равновесии, излучательная способность серого тела (или поверхности) пропорциональна его поглощательной способности. Поэтому для получения информации об излучательной способности металлических ФК можно исследовать их спектры поглощения. Для достижения высокой селективности излучающей структуры в видимом диапазоне ( нм), содержащей ФК, необходимо подобрать такие условия, при которых, поглощение в видимом диапазоне велико, а в ИК - подавлено.

В наших работах http подробно проанализировано изменение спектра поглощения фотонного кристалла с элементами из вольфрама и с геометрией опала при изменении всех его геометрических параметров: периода решетки, размера вольфрамовых элементов, количества слоев в образце ФК. Проведен также анализ влияния на спектр поглощения дефектов в ФК, возникающих при его изготовлении.